对有条件的选取，分成几种情况，把每种情况算成组合的乘积，再把各情况相加。因为只有小组本身重要，每种情况都用 nCr。这是排列与组合的第二项主要技能，紧接在判断顺序是否重要之后。
怎样把条件拆成情况？
逐字读条件。
- **某类恰好 k 个：**一种情况。从该类中选 k 个，其余从另一类中选。
- **某类至少 k 个：**一系列情况：k、k + 1，依此类推，直到最多可能的数量。
- **某类至多 k 个：**一系列情况：0、1，直到 k。
- **必须包括某人：**先放这个人，再从其他所有人中选其余名额。
- **不能包括某人：**先把这个人从选择范围中去掉。
同一种情况内，各个选取相乘。不同情况之间，相加。
例题
从 6 个男生和 4 个女生中选出 5 人的小组。求 (a) 恰好 2 个女生，(b) 至少 2 个女生的小组数。
**(a)：**恰好 2 个女生，表示 2 个女生和 3 个男生。
4C2 × 6C3 = 6 × 20 = 120
**(b)：**至少 2 个女生，表示 2、3 或 4 个女生。小组共 5 人，所以男生数是 3、2 或 1。
| 女生 | 男生 | 算式 | 小组数 |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 4C2 × 6C3 = 6 × 20 | 120 |
| 3 | 2 | 4C3 × 6C2 = 4 × 15 | 60 |
| 4 | 1 | 4C4 × 6C1 = 1 × 6 | 6 |
总数 = 120 + 60 + 6 = 186
**检查（补集）：**从 10 人中选 5 人的全部小组是 10C5 = 252。女生少于 2 个的小组：0 个女生有 6C5 = 6，1 个女生有 4 × 6C4 = 4 × 15 = 60。所以 252 − 6 − 60 = 186。两个答案吻合。
要留意的错误
一种常见的失误，是在两个选取同时发生时做加法。
**(a) 的错误答案：**4C2 + 6C3 = 6 + 20 = 26
学生把“选女生”和“选男生”当成了二选一。
小组既需要女生，也需要男生。选女生的每一种方法（共 6 种），都对应 20 种选男生的方法，所以要相乘。更正：6 × 20 = 120。
自我检测
1. 从 7 个男生和 5 个女生中选出 4 人的委员会。恰好有 2 个女生的委员会有多少个？
查看答案
2 个女生和 2 个男生：5C2 × 7C2 = 10 × 21 = 210。
2. 从 8 名学生中选出 3 人的队伍，哈娜必须在队中。有多少支队伍？
查看答案
先放哈娜，再从其余 7 人中选 2 人：7C2 = 21。
3. 从 6 个男生和 3 个女生中选出 4 人的小组。至少有 3 个男生的小组有多少个？
查看答案
3 男 1 女：6C3 × 3C1 = 20 × 3 = 60。4 男：6C4 = 15。总数 = 60 + 15 = 75。
检查：全部小组 9C4 = 126。男生少于 3 个：2 男 2 女是 15 × 3 = 45，1 男 3 女是 6 × 1 = 6。所以 126 − 45 − 6 = 75。
接下来学什么
当题目有一长串情况时，用减法更快：见用补集简化计数。然后使用综合练习。免计算器解题训练器可以帮助你用约分算 nCr。
有些学生上课能列对各种情况，考试时间紧就漏掉一种。线上一对一附加数学补习的老师可以看你怎样拆情况，帮你养成不漏的习惯。