判断顺序是否重要

排列（permutation）计算顺序重要的排法，组合（combination）计算顺序不重要的选法。**计算之前先问一个问题：如果我把选出的两个对象对调，结果是否不同？**这个判断出现在排列与组合每道题的开头。

两个公式有什么不同？

在 n 个不同对象中选 r 个：

• **nPr = n × (n − 1) × …，共 r 个因数。**例如 8P3 = 8 × 7 × 6 = 336。
• **nCr = nPr / r!。**例如 8C3 = 336 / 6 = 56。

除以 r! 是为了去掉同一组的不同顺序。3 个人可以排成 3 × 2 × 1 = 6 种顺序，所以在排列中每一组被算了 6 次。

一个可靠的方法

1. 找出被选的是什么（人、数字、字母、卡片）。
2. **在脑中对调两个对象。**出现新结果，说明顺序重要，用 nPr。结果相同，说明顺序不重要，用 nCr。
3. **检查是否可重复。**上面的公式假设每个对象最多用一次。如果题目允许重复，就改用乘法原理。
4. 用约分计算，然后检查 nCr 是否小于 nPr。

例题

一个俱乐部有 8 名成员。求以下情况的方法数：(a) 选出一名主席、一名秘书和一名财政，(b) 选出一个 3 人委员会。

**(a)：**三个职位不同，所以把阿妮和本对调会改变谁是主席。顺序重要。

8P3 = 8 × 7 × 6 = 336

**(b)：**3 人委员会不论名字按什么顺序写，都是同一个委员会。顺序不重要。

8C3 = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 336 / 6 = 56

**检查：**每个委员会可以担任三个职位，共 3! = 6 种方式，56 × 6 = 336。两个答案吻合。

要留意的错误

一种常见的失误，是觉得排列“更完整”就用排列。

**题目：**从 9 本不同的书中选 4 本带去旅行，有多少种选法？

**错误答案：**9P4 = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024

这些书只是被选出来，并没有按顺序摆放，所以带《代数、生物、化学、物理》与带《物理、化学、生物、代数》是一样的。3024 把每组 4 本书算了 4! = 24 次。

**更正：**9C4 = 3024 / 24 = 126。

自我检测

先判断顺序是否重要，再计算。

1. 从 6 名学生中选 2 人担任职责相同的班长，有多少种选法？

2. 六名选手参加比赛，金、银、铜牌有多少种颁发方式？

3. 教练从 11 名球员中选出 5 人组成球队，有多少种不同的球队？

接下来学什么

当这个判断变成习惯后，继续学习计算含固定位置的排列，再用综合练习测试自己。免计算器解题训练器可以帮助练习约分。

有些学生这里每一步计算都会，却读错了长题目所描述的情境。线上一对一附加数学补习的老师可以准确看到你是怎样读题的。