为什么要先填有限制的位置？

有限制的位置可用的选择较少，这些选择必须在其他位置用掉它们之前先确定。如果先填没有限制的位置，就不知道有限制的位置还剩多少个有效选择。先填它，每次得到的选择数都是固定的。

如果有两个位置都有限制怎么办？

先填限制最多的位置，如果限制共用某些对象，就分情况。例如一个数必须是偶数且首位不能是零，末位和首位都重要，答案可能需要按末位分成两种情况。

会。如果 n 个不同对象中有一个固定在某个位置，其余 n − 1 个对象可以在剩下的 n − 1 个位置上自由排列，共 (n − 1)! 种。5 个人排成一行，其中一人固定在左端，就是 4! = 24。

当排列中某个位置有条件时，先填那个位置，再填其余位置。这样每个位置的选择数一目了然，也是避免在排列与组合中多算或少算的最可靠方法。

这一课接着判断顺序是否重要，因为这里所有例子都是有顺序的排列。

把每个位置看作一个方格，在每个方格上写出选择数，然后相乘。

如果一个对象固定在某个位置，且所有对象都不同，其余 n − 1 个对象自由排列：(n − 1)!。

用数字 1 到 9，每个数字最多用一次，可以组成多少个 4 位偶数？

**步骤 1，方格：**共有 4 个方格。末位必须是偶数。

**步骤 2，先填有限制的方格：**可用的偶数是 2、4、6、8，所以末位有 4 种选择。

**步骤 3，其他方格：**首位还剩 8 个数字，第二位 7 个，第三位 6 个。

步骤 4，相乘：

4 × 8 × 7 × 6 = 4 × 336 = 1344

**检查（另一条路）：**用总数减去奇数的个数。总数 = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024。奇数：末位有 5 个奇数可选，其余 8 × 7 × 6 = 336，所以 5 × 336 = 1680。于是 3024 − 1680 = 1344。两条路吻合。

一种常见的失误，是从左到右填方格，到最后才想起条件。

**错误答案：**9 × 8 × 7 × 4 = 2016

学生先自由填前三位，再说“末位有 4 个偶数”。

这是错的，因为前三位可能已经用掉了一些偶数。末位剩下几个选择，取决于前面发生了什么，所以并没有一个固定的 4。先填末位就能消除这个问题。

**更正：**末位 4 种，然后 8 × 7 × 6，得 1344。

1. 五个人排成一行，某一个人必须站在正中间，有多少种排法？

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中间位置已固定，其余 4 人在另外 4 个位置自由排列：4! = 24。

2. 用数字 1 到 7，数字不重复，可以组成多少个 4 位奇数？

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末位必须是奇数：1、3、5 或 7，共 4 种选择。其他方格为 6 × 5 × 4。4 × 6 × 5 × 4 = 480。

3. 把单词 MATHS 的 5 个字母排成一行，每个字母用一次。有多少种排法以辅音字母开头？

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只有 A 是元音，所以首位有 4 个辅音可选。其余 4 个字母排在 4 个位置，有 4! = 24 种。4 × 24 = 96。

检查：总数 5! = 120，以 A 开头的有 24 种，所以 120 − 24 = 96。

接下来看看当你是选出一组而不是排列时，条件怎样发挥作用：计算有限制条件的选取。然后试做综合练习。

在课堂上会用方格法的学生，遇到新题时有时还是会先填错方格。线上一对一附加数学补习的老师可以陪你练习这第一步，直到成为习惯。