积分带括号和 e^(ax+b) 的式子

当括号里是线性式 ax + b 时，把它当作单一变量来积分，再除以 a。例如 ∫(3x − 2)⁴ dx = (3x − 2)⁵/15 + c。

这建立在用正确的常数积分幂函数之上。同样的思路也适用于 e^ax+b 之类的形式。具体要考哪些函数，请以 0606 大纲最新页面为准。

为什么要除以内部系数？

用链式法则对 (3x − 2)⁵ 求导，得 5(3x − 2)⁴ × 3。多出来的 3 就是括号内部的导数。

所以要同时抵消幂带来的 5 和内部带来的 3，就要除以 5 × 3 = 15。这个积分其实就是逆向的链式法则。

具体步骤

1. 找出内部 ax + b，以及外部规则（幂、e^…、sin 或 cos）。
2. 积分外部，把内部当作 x。
3. 除以 a，也就是内部 x 的系数。
4. 加 + c，再在心里求导检验。

例题详解

求 (a) ∫(3x − 2)⁴ dx，(b) ∫e^2x+1 dx，(c) ∫6x(x² + 1)³ dx。

(a) 第一步，内部与外部： 内部是 3x − 2，所以 a = 3。外部是 4 次幂。

第二步，积分并除以： (3x − 2)⁵/5，再除以 3。

(3x − 2)⁵/15 + c

(b) e^u 的积分是 e^u，而 a = 2，所以：

½e^2x+1 + c

(c) 内部 x² + 1 的导数是 2x，而括号前乘的是 6x = 3 × 2x。把 (x² + 1) 当作 u，则 2x(x² + 1)³ 的积分是 (x² + 1)⁴/4。再乘以 3：

3(x² + 1)⁴/4 + c

检验 (c)： 求导得 3 × 4(x² + 1)³ × 2x / 4 = 6x(x² + 1)³，正是原式。

(c) 是内部不是线性式的逆向链式法则。它之所以成立，只因为 6x 是 x² + 1 的导数的常数倍。请在你的大纲中确认是否需要这种形式。

要留意的错误

常见的失误是忽略内部系数。

错误答案： ∫(3x − 2)⁴ dx = (3x − 2)⁵/5 + c

对它求导得 3(3x − 2)⁴，比原式大了三倍。

改正的方法是同时除以 3，得到 (3x − 2)⁵/15。答案一定要求导一次。如果得到的是原式的倍数，缺掉的因子就是内部系数。

自我检测

先在纸上试做，再打开答案核对。

1. 求 ∫(2x + 5)³ dx。

2. 求 ∫sin(3x) dx。

3. 求 ∫10e^5x−1 dx。

下一步

接下来，在用正确的上下限计算定积分中给这些积分加上上下限，并保持用求导检验原函数的习惯。无计算器运算训练和二次函数结构探索器有助于括号背后的代数。

如果答案总是差一个倍数，附加数学线上一对一补习的老师可以教你先圈出内部系数，积分后再求导核对。