用正确的上下限计算定积分

计算定积分的方法是：先积分，再算 F(上限) − F(下限)。结果是一个数，不需要常数 c。

这接在积分幂函数和括号与指数函数之后。正是这一步，把原函数变成带符号面积或总变化量。

怎样写得清楚？

用方括号，把上下限写在右边。这个格式很重要，它能防止你代错位置。

[F(x)]，从 a 到 b = F(b) − F(a)

每次代入都放进自己的括号，例如写 (−1)³ 而不是 −1³，因为 −1³ 一眼看去容易误读。

具体步骤

1. 积分，把结果写进方括号并标上上下限。
2. 代入上限：每个 x 都用括号代入。
3. 代入下限：用同样方法。
4. 相减：上限的结果减去下限的结果。
5. 化简，写出数值；如果题目有单位，也要写上。

例题详解

计算从 −1 到 2 的 ∫(3x² + 2x) dx。

第一步，积分： [x³ + x²]，上下限为 −1 到 2。

第二步，上限 x = 2： 2³ + 2² = 8 + 4 = 12。

第三步，下限 x = −1： (−1)³ + (−1)² = −1 + 1 = 0。

第四步，相减： 12 − 0 = 12。

12

检验： 一个独立的方法是分别积分 −1 到 0 和 0 到 2，再相加。第一段 [x³ + x²] 从 −1 到 0 是 0 − 0 = 0，第二段是 12 − 0 = 12，总和为 12。

要留意的错误

常见的失误是处理不好负的下限。

错误步骤： 下限：(−1)³ + (−1)² = 1 + 1 = 2，所以 12 − 2 = 10

学生把 (−1)³ 当成了 +1。负数的奇次幂仍然是负数，所以 10 是错的。

改正的方法是每个代入的值都放进括号，并先算幂。(−1)³ = −1，(−1)² = +1，所以下限的值是 0，答案是 12。

答案是负数怎么办？

结果为负并不是错误。例如，从 0 到 2 的 ∫(x² − 2x) dx = [x³/3 − x²] = (8/3 − 4) − 0 = −4/3。

在 0 与 2 之间，曲线位于 x 轴下方，所以带符号面积是负数。几何面积是 4/3。如果题目要的是面积而不是积分，请画出曲线的草图。

自我检测

先在纸上试做，再打开答案核对。

1. 计算从 0 到 2 的 ∫4x³ dx。

2. 计算从 1 到 4 的 ∫√x dx。

3. 计算从 −2 到 1 的 ∫(x² + 1) dx。

下一步

接下来，养成用求导检验原函数的习惯，再试积分方法练习题组。无计算器运算训练有助于分数运算，二次函数结构探索器帮你看到曲线在哪里穿过 x 轴。

如果分数总是丢在符号和代入上，附加数学线上一对一补习的老师可以看你的书写格式，帮你改掉容易出错的写法。