积分 x 的幂的规则是什么？

对于除 −1 以外的任何幂 n，xⁿ 的积分是 x^(n+1) 除以 (n + 1)，再加 c。先把幂加一，再除以新的幂。n = −1 的情形会得到对数，请确认你的课程大纲是否涵盖。

怎样积分 1/x² 或 √x？

先改写。1/x² 变成 x^(−2)，√x 变成 x^(1/2)，再用一般规则。对 x^(−2)，新的幂是 −1，所以除以 −1，答案是 −x^(−1)，也就是 −1/x。

整个式子最后写一个 + c 就够了，不必每项各写一个。分开的常数最终会合并成一个常数。在有上下限的定积分中，常数会抵消，不需要写。

积分 x 的幂时，先把幂加一，再除以新的幂：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c，其中 n ≠ −1。常数系数原样保留。

这是每道积分题里的基本功。它接在由导数和一个点还原函数之后，需要用到之前附加数学学过的指数运算。

积分之前，先把每一项写成“数字乘以 x 的幂”。之后每次都用同一条规则。

除以一个分数，等于乘以它的倒数。所以除以 3/2 就得到系数 2/3。

求 ∫(6x² − 4/x³ + 3√x) dx。

第一步，改写： 6x² − 4x⁻³ + 3x^1/2。

第二步，逐项积分：

第三步，合并：

2x³ + 2/x² + 2x^3/2 + c

第四步，检验： 对答案求导，得 6x² − 4x⁻³ + 3x^1/2，正是原来的式子。

常见的失误是新的幂为负数时丢掉负号。

错误答案： ∫4/x³ dx = 4x⁻²/2 = 2x⁻² + c

新的幂是 −2，所以除数是 −2，不是 2。负号被漏掉了。

正确答案是 4x⁻²/(−2) = −2x⁻² + c。化简之前，把除数连同符号放进括号，例如“÷ (−2)”。对 −2x⁻² 求导得 4x⁻³，可以证实。

先在纸上试做，再打开答案核对。

1. 求 ∫(5x⁴ − 2x) dx。

查看答案

5x⁴ 得 x⁵，−2x 得 −x²。x⁵ − x² + c

2. 求 ∫(1/√x) dx。

查看答案

1/√x = x^−1/2。幂加一得 x^1/2，再除以 1/2 得 2x^1/2。2√x + c

3. 先展开，再求 ∫(x + 1)² dx。

查看答案

(x + 1)² = x² + 2x + 1。积分得 x³/3 + x² + x。x³/3 + x² + x + c

如果分数和负指数总是拖慢你，附加数学线上一对一补习的老师可以带你把每一项先改写成幂，再积分，直到这一步不用再想。