对数只有在里面的数是正数时才有定义。所以解对数方程时，每个答案都要测试：任何使原来对数里的数变成零或负数的根，都必须舍去。
这一课建立在合并对数和指数式与对数式的转换之上。在指数与对数推理中，考试常用它来检查你有没有在写最终答案前先想一想。
步骤是什么？
- 先写定义域。 对每个对数，要求里面的数大于 0，再取所有条件的公共部分。
- 合并：把两边各合并成一个对数，或一个对数加一个普通数。
- 转换成普通方程：用 aˣ = y ⇔ x = loga y，或在同底的对数中令里面的数相等。
- 求解新方程。二次方程很常见，可以用二次结构探索器帮你检查根和因式。
- 把每个根与定义域比较，舍去不符合的。
- 代入保留下来的根，在原方程中做最后检查。
例题
解 log₂ (x + 6) + log₂ x = 4。
第 1 步，定义域： x + 6 > 0 且 x > 0，所以合并条件是 x > 0。
第 2 步，合并： log₂ [x(x + 6)] = 4。
第 3 步，转换： x(x + 6) = 2⁴ = 16。
第 4 步，整理并求解： x² + 6x − 16 = 0，因式分解为 (x + 8)(x − 2) = 0。所以 x = −8 或 x = 2。
第 5 步，套用定义域： x = −8 不行，因为 x 必须大于 0。x = 2 满足条件。
检查： log₂ (2 + 6) + log₂ 2 = log₂ 8 + log₂ 2 = 3 + 1 = 4。✓
答案： 只有 x = 2。
注意 x = −8 会使 x + 6 = −2，x 本身也是负数。两个对数都不存在，所以这个根不只是没用，而是根本不可能。
要避开的错误
常见的失误是把二次方程的两个根都当作答案。
错误的答案： x = 2 或 x = −8。
代数是对的，但 x = −8 不是原方程的解。
纠正的办法是在开头写下定义域条件，然后写明「x = −8 舍去，因为 x > 0」。阅卷老师要看的就是你做出判断的证据，所以只写 x = 2 而不提另一个根，可能不足以体现推理。多写一行说明只需几秒钟。
第二个更隐蔽的失误是用错误的理由舍去根。一个根可能让某个对数失效，而另一个对数仍然正常，所以要检查原方程里的每个对数，而不只是第一个。
自我检测
1. 解 log₃ x + log₃ (x − 2) = 1。
显示答案
定义域：x > 0 且 x − 2 > 0，所以 x > 2。合并：log₃ [x(x − 2)] = 1，故 x(x − 2) = 3。于是 x² − 2x − 3 = 0，即 (x − 3)(x + 1) = 0，得 x = 3 或 x = −1。只有 x = 3 大于 2。
检查：log₃ 3 + log₃ 1 = 1 + 0 = 1。所以 x = 3。
2. 解 log₂ (3x + 1) = 2 log₂ x，答案保留 3 位有效数字。
显示答案
定义域：x > 0（此时 3x + 1 > 0 自然成立）。把右边写成 log₂ x²。令里面相等：3x + 1 = x²，所以 x² − 3x − 1 = 0。公式给出 x = (3 ± √13)/2，约为 3.303 或 −0.303。
负根不符合定义域，因为 log₂ x 需要 x > 0，即使此时 3x + 1 仍是正数。所以 x = 3.30。
3. 写出使 log₂ (5 − x) + log₂ (x + 1) 有定义的 x 的取值范围。
显示答案
需要 5 − x > 0，即 x < 5；还需要 x + 1 > 0，即 x > −1。两者都要成立，所以 −1 < x < 5。
接下来学什么
对数也能帮助把曲线变成直线。下一课学习把指数关系线性化，然后用综合练习检验自己。
如果你总在解答的最后发现多出一个错误的根，老师可以在一对一线上附加数学补习中查看你的书面解答，帮你建立适合自己的检查习惯。