指数式与对数式的互相转换

指数式 2⁵ = 32 和对数式 log₂ 32 = 5 说的是同一件事。对数就是指数：底数仍是底数，幂的结果变成对数里面的数。

这项转换是指数与对数推理中的第一项技能。只要未知数出现在指数位置（例如 3ˣ = 20），或者需要把对数方程变成普通方程，就会用到它。

两种写法如何对应？

以 aˣ = y 为例，读作「底数 a 的 x 次方等于 y」。

对数式是 x = log_a y，读作「x 是让 a 变成 y 的指数」。

有三样东西不会移动：底数仍是底数，指数变成对数的值，数 y 变成对数里面的数。因为正底数的任何次方都是正数，所以只能对正数取对数。

例题

(a) 求 log₄ 64。

问：4 的几次方等于 64？因为 4³ = 64，所以 log₄ 64 = 3。

(b) 解 log_x 81 = 4。

第 1 步，改写成指数式： x⁴ = 81。

第 2 步，求解： x = 3，因为 3⁴ = 81。底数必须为正，所以负的四次方根不可取。

检查： log₃ 81 问的是「3 的几次方等于 81」，答案是 4。✓

(c) 解 5ˣ = 40，x 保留 3 位有效数字。

第 1 步，改写成对数： x = log₅ 40。

第 2 步，用计算器计算：ln 40 ÷ ln 5（即换底，你的计算器也可能可以直接算）。得 x = 2.292…

答案： x = 2.29。

检查： 5² = 25，5³ = 125，所以得到 40 的指数必在 2 与 3 之间，而且更靠近 2。2.29 合理。

要避开的错误

常见的失误是把底数和幂的结果对调。

错误的转换： 由 log₂ 8 = 3，学生写出 3² = 8。

底数 2 和对数值 3 互换了位置。3² = 9，所以这个式子是错的。

纠正的办法是大声念出来：「底数 2，3 次方，得到 8」，所以是 2³ = 8。底数永远是写在「log」旁边的那个小数字。快速的验证方法是代回去：如果新写的式子用真实数字检验是假的，转换就错了。

自我检测

先自己做，再打开答案。之后可以用免计算器步骤训练器练习精确值的运算。

1. 把 10⁴ = 10 000 写成对数式。

2. 求 log₅ (1/25)。

3. 解 log_x 8 = 3/2。

接下来学什么

转换熟练之后，下一步是用正确的系数合并对数，因为大多数对数方程要先合并成一个对数才能转换。然后再做综合练习。

有些学生在课堂上每一行都看得懂，但未知数出现在底数或指数时就会丢分。老师在一对一线上附加数学补习中对照你自己的解答，可以很快找出这种模式。