用正确的系数合并对数

合并对数，就是用三条法则把几个对数项变成一个：对数相加等于数相乘，对数相减等于数相除，系数移上去变成指数。所有对数的底数必须相同。

这一课接在指数式与对数式的转换之后，也为指数与对数推理中的方程做好准备。

三条法则是什么？

设底数 a 为正数，x 和 y 为正数：

1. log_a x + log_a y = log_a (xy)
2. log_a x − log_a y = log_a (x/y)
3. n log_a x = log_a (xⁿ)

每一条都来自指数法则。法则 1 其实是指数法则 aᵖ × aᵠ = aᵖ⁺ᵠ 的另一个样子，因为对数就是指数。另外 log_a a = 1，log_a 1 = 0，这让你可以把普通数字变成同底的对数。

如何一步步合并？

1. 先确认底数相同。 不同就先换底。
2. 先把每个系数移上去变成幂（法则 3），再做别的。
3. 相加或相减：用法则 1 和 2，从左到右处理。
4. 写成一个对数，化简里面的数。如果它是底数的幂，就直接算出值。
5. 把普通数字变成对数：n = n log_a a = log_a (aⁿ)。

例题

把 2 log₃ 6 − log₃ 4 + 1 写成单个对数，再求值。

第 1 步，系数移上去： 2 log₃ 6 = log₃ 36。

第 2 步，相减： log₃ 36 − log₃ 4 = log₃ (36 ÷ 4) = log₃ 9。

第 3 步，把 1 变成对数： 1 = log₃ 3。

第 4 步，相加： log₃ 9 + log₃ 3 = log₃ (9 × 3) = log₃ 27。

第 5 步，求值： 3³ = 27，所以值是 3。

不用法则检查： log₃ 9 = 2，而 2 + 1 = 3。✓ 两条路线结果一致。

要避开的错误

常见的失误是在系数应该变成幂的时候，却在对数里面做乘法。

错误的做法： 2 log₃ 6 = log₃ 12。

学生把 6 乘以 2，而不是平方。

纠正的办法是用法则 3：2 log₃ 6 = log₃ 6² = log₃ 36。

用数值测试就能看出差别。log₃ 36 约为 3.26，正好是 log₃ 6（约 1.63）的两倍。

但 log₃ 12 只有约 2.26。只要系数的处理与快速测试的结果不符，就说明系数用错了。

另一个相关的陷阱是把对数相除：log₂ 8 ÷ log₂ 2 是 3 ÷ 1 = 3，并不等于 log₂ 4（它等于 2）。对数相减会在里面得到商，但对数相除不会。

自我检测

1. 把 3 lg 2 + lg 5 写成单个对数。

2. 求 log₂ 48 − log₂ 3 的值。

3. 化简 2 log₅ 10 − log₅ 4 并求值。

接下来学什么

下一课用单个对数来解带有对数定义域限制的方程，这时你还要判断哪些答案被允许。免计算器步骤训练器可以帮你在转到小数之前练习精确运算。

如果这些法则仍像彼此无关的小技巧，老师在一对一线上附加数学补习中可以用你自己的解答，把它们与指数法则重新连起来。