Menggabungkan logaritma bermaksud menggunakan tiga hukum supaya beberapa sebutan log menjadi satu: tambah log untuk mendarab, tolak log untuk membahagi, dan naikkan pekali menjadi kuasa. Semua log mesti berkongsi asas yang sama.
Pelajaran ini menyambung penukaran antara pernyataan eksponen dan logaritma dan menyediakan asas untuk persamaan dalam penaakulan eksponen dan logaritma.
Apakah tiga hukum itu?
Bagi asas positif a dan nombor positif x dan y:
- loga x + loga y = loga (xy)
- loga x − loga y = loga (x/y)
- n loga x = loga (xⁿ)
Setiap satu datang daripada hukum indeks. Hukum 1 ialah hukum indeks aᵖ × aᵠ = aᵖ⁺ᵠ dalam rupa lain, kerana log ialah indeks. Juga loga a = 1 dan loga 1 = 0, yang membolehkan anda menukar nombor biasa menjadi log berasas sama.
Bagaimana menggabungkannya langkah demi langkah?
- Semak asas sama. Jika tidak, tukar asas dahulu.
- Naikkan setiap pekali sebagai kuasa (hukum 3), sebelum apa-apa yang lain.
- Tambah atau tolak log dengan hukum 1 dan 2, dari kiri ke kanan.
- Tulis satu log dan permudah nombor di dalamnya. Jika ia kuasa bagi asas, nilaikan.
- Tukar nombor biasa menjadi log dengan n = n loga a = loga (aⁿ).
Contoh berlangkah
Ungkapkan 2 log₃ 6 − log₃ 4 + 1 sebagai satu logaritma, kemudian nilaikannya.
Langkah 1, naikkan pekali: 2 log₃ 6 = log₃ 36.
Langkah 2, tolak: log₃ 36 − log₃ 4 = log₃ (36 ÷ 4) = log₃ 9.
Langkah 3, tukar 1 menjadi log: 1 = log₃ 3.
Langkah 4, tambah: log₃ 9 + log₃ 3 = log₃ (9 × 3) = log₃ 27.
Langkah 5, nilaikan: 3³ = 27, maka nilainya ialah 3.
Semak tanpa hukum: log₃ 9 = 2, dan 2 + 1 = 3. ✓ Kedua-dua cara sepakat.
Kesilapan yang perlu dielakkan
Kesilapan biasa ialah mendarab di dalam log sedangkan pekali sepatutnya menjadi kuasa.
Kerja yang salah: 2 log₃ 6 = log₃ 12.
Pelajar menggandakan 6 dan bukan mengkuasaduakannya.
Pembetulannya ialah hukum 3: 2 log₃ 6 = log₃ 6² = log₃ 36.
Ujian berangka menunjukkan bezanya. log₃ 36 lebih kurang 3.26, iaitu dua kali log₃ 6 (lebih kurang 1.63).
Tetapi log₃ 12 hanya lebih kurang 2.26. Apabila pekali tidak sepadan dengan jawapan anda dalam ujian cepat, pekali itu telah disalahgunakan.
Satu perangkap berkaitan ialah membahagi log: log₂ 8 ÷ log₂ 2 ialah 3 ÷ 1 = 3, yang bukan log₂ 4 (iaitu 2). Menolak log memberi hasil bahagi di dalam log, tetapi membahagi log tidak.
Semak kendiri
1. Tulis 3 lg 2 + lg 5 sebagai satu logaritma.
Tunjukkan jawapan
3 lg 2 = lg 8. Kemudian lg 8 + lg 5 = lg 40. Jadi jawapannya lg 40.
2. Nilaikan log₂ 48 − log₂ 3.
Tunjukkan jawapan
Menolak log membahagi nombor: log₂ (48 ÷ 3) = log₂ 16. Oleh sebab 2⁴ = 16, nilainya 4.
3. Permudah 2 log₅ 10 − log₅ 4 dan beri nilainya.
Tunjukkan jawapan
2 log₅ 10 = log₅ 100. Kemudian log₅ 100 − log₅ 4 = log₅ 25. Oleh sebab 5² = 25, nilainya 2.
Ke mana selepas ini?
Pelajaran seterusnya menggunakan satu log tunggal untuk menyelesaikan persamaan dengan sekatan domain log, dan anda juga perlu memutuskan jawapan mana yang dibenarkan. Pelatih kerja tanpa kalkulator membantu anda melatih aritmetik tepat sebelum beralih kepada perpuluhan.
Jika hukum masih terasa seperti helah yang berasingan, guru kami dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh mengaitkannya semula dengan hukum indeks menggunakan kerja anda sendiri.