Dua belas soalan ini asli dan disusun dari mudah kepada lebih sukar. Ia merangkumi penukaran antara bentuk indeks dan log, hukum log, persamaan dengan sekatan domain, graf garis lurus daripada log dan model pertumbuhan. Cuba setiap soalan di atas kertas dahulu, kemudian buka jawapan berlangkah.
Gunakan kalkulator hanya apabila jawapan perpuluhan diminta. Semak tatatanda dan peraturan kalkulator bagi tahun peperiksaan anda di laman sukatan pelajaran Cambridge. Mulakan dari gambaran keseluruhan modul jika anda perlukan susunan belajar.
Pemanasan: menukar dan menilai
1. Tulis 2⁶ = 64 sebagai pernyataan logaritma, dan tulis log₇ 49 = 2 sebagai pernyataan indeks.
Tunjukkan jawapan
Asas 2, indeks 6, nombor 64: log₂ 64 = 6.
Asas 7, nilai log 2, nombor 49: 7² = 49.
2. Nilaikan (a) log₅ 125, (b) log₄ 2, (c) log₃ (1/27).
Tunjukkan jawapan
(a) 5³ = 125, maka 3.
(b) 41/2 = 2, maka 1/2.
(c) 3⁻³ = 1/27, maka −3.
3. Selesaikan logx 125 = 3/2.
Tunjukkan jawapan
x3/2 = 125. Kuasakan kedua-dua belah dengan 2/3: x = 1252/3 = (∛125)² = 5² = 25.
Semak: 253/2 = (√25)³ = 125. Jadi x = 25.
4. Selesaikan 3ˣ = 50, beri x betul kepada 3 angka bererti.
Tunjukkan jawapan
x = log₃ 50 = ln 50 ÷ ln 3 = 3.912 ÷ 1.0986 = 3.561.
Semak: 3³ = 27 dan 3⁴ = 81, maka x berada antara 3 dan 4. Jadi x = 3.56.
Membina: hukum dan persamaan
5. Tunjukkan bahawa 3 lg 2 + lg 25 − lg 2 = 2.
Tunjukkan jawapan
3 lg 2 = lg 8. Maka ungkapan itu ialah lg 8 + lg 25 − lg 2 = lg (8 × 25 ÷ 2) = lg 100.
Oleh sebab 10² = 100, lg 100 = 2. ✓
6. Selesaikan log₂ x + log₂ (x − 3) = 2.
Tunjukkan jawapan
Domain: x > 0 dan x − 3 > 0, maka x > 3. Gabung: x(x − 3) = 2² = 4, jadi x² − 3x − 4 = 0, yang memberi (x − 4)(x + 1) = 0.
x = −1 ditolak kerana ia tidak lebih besar daripada 3. Semak x = 4: log₂ 4 + log₂ 1 = 2 + 0 = 2. Jadi x = 4.
7. Selesaikan 22x − 5 × 2ˣ + 4 = 0.
Tunjukkan jawapan
Andaikan u = 2ˣ. Maka 22x = u², jadi u² − 5u + 4 = 0, yang memberi (u − 1)(u − 4) = 0. Maka u = 1 atau u = 4.
2ˣ = 1 memberi x = 0, dan 2ˣ = 4 memberi x = 2. Semak x = 2: 16 − 20 + 4 = 0. ✓ Jadi x = 0 atau x = 2. Kedua-duanya sah kerana 2ˣ sentiasa positif.
8. Selesaikan lg (13x − 4) = 1 + lg x.
Tunjukkan jawapan
Domain: x > 0 dan 13x − 4 > 0, maka x > 4/13. Tulis 1 = lg 10, jadi belah kanan ialah lg 10 + lg x = lg 10x. Samakan: 13x − 4 = 10x, maka 3x = 4 dan x = 4/3.
Oleh sebab 4/3 > 4/13, ia sah. Semak: 13 × 4/3 − 4 = 40/3 dan 10 × 4/3 = 40/3. Jadi x = 4/3.
Cabaran: graf dan model
9. Pemboleh ubah memenuhi y = abˣ. Graf lg y melawan x ialah garis lurus melalui (0, 0.5) dan (4, 2.1). Cari a dan b betul kepada 3 angka bererti.
Tunjukkan jawapan
Pintasan = 0.5, maka lg a = 0.5 dan a = 100.5 = 3.16. Kecerunan = (2.1 − 0.5) ÷ 4 = 0.4, maka lg b = 0.4 dan b = 100.4 = 2.51.
Jadi y = 3.16 × 2.51ˣ. Semak pada x = 4: lg y = 0.5 + 1.6 = 2.1. ✓
10. Graf lg y melawan lg x ialah garis lurus berkecerunan 2 yang melalui (1, 3). Cari hubungan antara y dan x.
Tunjukkan jawapan
Andaikan y = axⁿ, maka lg y = n lg x + lg a. Kecerunan memberi n = 2. Pada (1, 3): 3 = 2 × 1 + lg a, maka lg a = 1 dan a = 10.
Jadi y = 10x². Semak: x = 10 memberi lg x = 1 dan y = 1000, dengan lg y = 3. ✓
11. Satu populasi dimodelkan oleh N = 800e0.03t, dengan t dalam tahun. Cari (a) peratus pertumbuhan setahun betul kepada 3 angka bererti, (b) populasi selepas 20 tahun kepada nombor bulat terdekat.
Tunjukkan jawapan
(a) Faktor tahunan ialah e0.03 = 1.0305, maka pertumbuhan ialah 3.05% setahun, bukan 3%.
(b) N = 800e0.6 = 800 × 1.8221 = 1457.7. Kepada nombor bulat terdekat, 1458.
12. Satu kultur 2000 bakteria bertambah 15% setiap jam. Cari, betul kepada 3 angka bererti, masa untuk bilangan itu mencapai 10 000.
Tunjukkan jawapan
N = 2000 × 1.15t. Samakan dengan 10 000: 1.15t = 5. Ambil log: t = ln 5 ÷ ln 1.15 = 1.6094 ÷ 0.13976 = 11.52.
Semak: 1.1511.5 ≈ 5, kerana e0.13976 × 11.5 = e1.607 ≈ 4.99. Jadi 11.5 jam.
Jika anda tersilap
Padankan setiap kesilapan dengan pelajaran yang membetulkannya.
| Apa yang salah | Kembali ke |
|---|---|
| Menukar ganti asas dan jawapan, atau tidak dapat memulakan penukaran (soalan 1 hingga 4) | Tukar antara pernyataan eksponen dan logaritma |
| Menggandakan dan bukan mengkuasaduakan, atau memecahkan log (a + b) (soalan 5 dan 8) | Gabung logaritma dengan pekali yang betul |
| Memberi punca tambahan yang ditolak oleh domain (soalan 6 dan 8) | Selesaikan persamaan dengan sekatan domain log |
| Menyalin kecerunan dan pintasan sebagai pemalar (soalan 9 dan 10) | Luruskan hubungan eksponen |
| Membaca k sebagai peratusan, atau terlupa faktor pertumbuhan (soalan 11 dan 12) | Bezakan pemalar pertumbuhan daripada peratus pertumbuhan |
Catat setiap kesilapan dalam log kesilapan dan baris gilir ujian semula dan cuba soalan baharu bagi kemahiran yang sama beberapa hari kemudian. Pelatih kerja tanpa kalkulator dan penjelajah struktur kuadratik berguna untuk menyemak nilai tepat dan punca kuadratik selepas anda mencuba dengan tangan.
Jika kesilapan yang sama berulang, guru kami dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh menyemak penyelesaian bertulis anda dan mencari punca tabiat itu.