Dalam model N = N₀ekt, nombor k ialah pemalar pertumbuhan: kadar perubahan berterusan. Ia bukan sama dengan peningkatan peratusan bagi satu tempoh masa, iaitu (ek − 1) × 100%.
Pelajaran ini berada antara hukum log dalam menggabungkan logaritma dan soalan praktikal dalam set latihan campuran. Ia sebahagian daripada penaakulan eksponen dan logaritma.
Bagaimana kedua-dua bentuk berkait?
Kuantiti yang bertambah p% setiap tempoh didarab dengan faktor (1 + p/100) setiap tempoh. Selepas t tempoh:
N = N₀ × (1 + p/100)t
Menulis 1 + p/100 sebagai ek memberi N = N₀ekt. Maka kedua-dua pemalar dihubungkan oleh:
| Arah | Rumus |
|---|---|
| Daripada peratus kepada k | k = ln (1 + p/100) |
| Daripada k kepada peratus | p = (ek − 1) × 100 |
Kedua-dua bentuk menerangkan lengkung yang sama. Bezanya hanya pada nombor yang anda baca: k menerangkan perubahan berterusan, p menerangkan lompatan sepanjang satu tempoh penuh.
Contoh berlangkah
Satu populasi dimodelkan oleh N = 500e0.04t, dengan t dalam tahun.
(a) Peratus pertumbuhan setahun. Faktor tahunan ialah e0.04 = 1.0408. Maka pertumbuhan lebih kurang 4.08% setahun, bukan 4%.
(b) Populasi selepas 10 tahun. N = 500e0.4 = 500 × 1.4918 = 745.9, iaitu lebih kurang 746.
(c) Masa penggandaan. Selesaikan 500e0.04t = 1000, maka e0.04t = 2. Ambil ln: 0.04t = ln 2, jadi t = 0.6931 ÷ 0.04 = 17.33. Populasi berganda selepas kira-kira 17.3 tahun.
Semak terhadap bacaan yang salah. Jika 4% setahun digunakan, 500 × 1.0410 = 740.1, iaitu kira-kira 6 kurang daripada 746. Jadi kedua-dua bacaan memang berbeza, dan hanya bentuk e sepadan dengan model yang dinyatakan.
Kesilapan yang perlu dielakkan
Kesilapan biasa ialah membaca k sebagai peratusan secara terus.
Kerja yang salah: “k = 0.04, maka populasi bertambah 4% setiap tahun.”
Pelajar menyamakan kadar berterusan dengan peratusan tahunan.
Pembetulannya ialah mencari faktor tahunan dahulu. Selepas satu tahun, N = 500e0.04 = 520.4, iaitu pertambahan 20.4 pada 500, maka 4.08%.
Bagi k yang kecil perbezaannya sedikit, tetapi bagi k yang lebih besar ia membesar: k = 0.5 memberi e0.5 = 1.649, iaitu kenaikan 64.9% setiap tempoh, bukan 50%.
Semak kendiri
1. Bagi N = 200e0.05t, cari peratus pertumbuhan setahun betul kepada 3 angka bererti.
Tunjukkan jawapan
e0.05 = 1.0513, maka pertumbuhan tahunan ialah 5.13%.
2. Satu nilai jatuh 8% setiap tahun, maka N = N₀(0.92)t. Tulis sebagai N = N₀ekt dan beri k betul kepada 3 angka bererti.
Tunjukkan jawapan
Tetapkan ek = 0.92, maka k = ln 0.92 = −0.0834. Tanda negatif menunjukkan susutan.
3. Satu pelaburan bertambah 2% setiap tahun. Selepas berapa tahun ia berganda? Beri jawapan betul kepada 3 angka bererti.
Tunjukkan jawapan
Selesaikan 1.02t = 2, maka t = ln 2 ÷ ln 1.02 = 0.6931 ÷ 0.01980 = 35.0. Pelaburan itu berganda selepas 35.0 tahun.
Ke mana selepas ini?
Cuba set latihan campuran, kemudian baca semula meluruskan hubungan eksponen untuk melihat pemalar yang sama pada graf log.
Jika anda boleh membuat setiap pengiraan tetapi tidak pasti bentuk yang dikehendaki soalan, guru yang ditugaskan boleh menyemak cara anda membaca soalan dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.