Logaritma hanya ditakrifkan apabila nombor di dalamnya positif. Oleh itu apabila menyelesaikan persamaan log, setiap jawapan mesti diuji: punca yang menjadikan mana-mana nombor di dalam log asal sifar atau negatif mesti ditolak.
Pelajaran ini berdasarkan menggabungkan logaritma dan menukar antara bentuk indeks dan log. Ia salah satu cara penaakulan eksponen dan logaritma menguji sama ada anda berfikir sebelum menulis jawapan akhir.
Bagaimana menyelesaikannya, langkah demi langkah?
- Tulis domain dahulu. Bagi setiap log, syaratkan nombor di dalamnya lebih besar daripada 0, dan ambil persilangan semua syarat.
- Gabungkan log menjadi satu log pada setiap belah, atau satu log dan satu nombor biasa.
- Tukar kepada persamaan biasa dengan aˣ = y ⇔ x = loga y, atau dengan menyamakan nombor di dalam log berasas sama.
- Selesaikan persamaan baharu. Kuadratik kerap muncul, jadi penjelajah struktur kuadratik boleh membantu anda menyemak punca dan faktor.
- Bandingkan setiap punca dengan domain dan tolak yang gagal.
- Gantikan punca yang diterima ke dalam persamaan asal sebagai semakan akhir.
Contoh berlangkah
Selesaikan log₂ (x + 6) + log₂ x = 4.
Langkah 1, domain: x + 6 > 0 dan x > 0, jadi syarat gabungan ialah x > 0.
Langkah 2, gabung: log₂ [x(x + 6)] = 4.
Langkah 3, tukar: x(x + 6) = 2⁴ = 16.
Langkah 4, susun semula dan selesaikan: x² + 6x − 16 = 0, yang difaktorkan sebagai (x + 8)(x − 2) = 0. Maka x = −8 atau x = 2.
Langkah 5, guna domain: x = −8 gagal kerana x mesti lebih besar daripada 0. Nilai x = 2 memenuhinya.
Semak: log₂ (2 + 6) + log₂ 2 = log₂ 8 + log₂ 2 = 3 + 1 = 4. ✓
Jawapan: x = 2 sahaja.
Apabila x = −8, nilai x + 6 ialah −2 dan x ialah −8. Kedua-duanya negatif, jadi kedua-dua log tidak wujud dan punca itu mesti ditolak.
Kesilapan yang perlu dielakkan
Kesilapan biasa ialah memberi kedua-dua punca kuadratik sebagai jawapan.
Jawapan yang salah: x = 2 atau x = −8.
Algebranya betul, tetapi x = −8 bukan penyelesaian bagi persamaan asal.
Pembetulannya ialah menulis syarat domain pada awal, kemudian menyatakan “x = −8 ditolak kerana x > 0”. Pemeriksa mahu melihat sebab anda menolak punca itu.
Jawapan “x = 2” sahaja, tanpa menyebut punca yang satu lagi, mungkin tidak cukup menunjukkan penaakulan. Satu baris penjelasan hanya mengambil beberapa saat.
Kesilapan kedua yang lebih halus ialah menolak punca kerana sebab yang salah. Satu punca boleh menggagalkan satu log manakala log lain kekal sah, jadi uji setiap log dalam persamaan asal, bukan hanya yang pertama.
Semak kendiri
1. Selesaikan log₃ x + log₃ (x − 2) = 1.
Tunjukkan jawapan
Domain: x > 0 dan x − 2 > 0, jadi x > 2. Gabung: log₃ [x(x − 2)] = 1, maka x(x − 2) = 3. Kemudian x² − 2x − 3 = 0, jadi (x − 3)(x + 1) = 0, memberi x = 3 atau x = −1. Hanya x = 3 lebih besar daripada 2.
Semak: log₃ 3 + log₃ 1 = 1 + 0 = 1. Jadi x = 3.
2. Selesaikan log₂ (3x + 1) = 2 log₂ x, beri jawapan betul kepada 3 angka bererti.
Tunjukkan jawapan
Domain: x > 0 (dan 3x + 1 > 0, yang mengikutinya). Tulis semula belah kanan sebagai log₂ x². Samakan: 3x + 1 = x², maka x² − 3x − 1 = 0. Rumus memberi x = (3 ± √13)/2, iaitu lebih kurang 3.303 atau −0.303.
Punca negatif gagal domain kerana log₂ x memerlukan x > 0, walaupun 3x + 1 masih positif. Jadi x = 3.30.
3. Nyatakan nilai x supaya log₂ (5 − x) + log₂ (x + 1) tertakrif.
Tunjukkan jawapan
Perlu 5 − x > 0, maka x < 5, dan x + 1 > 0, maka x > −1. Kedua-duanya mesti benar, jadi −1 < x < 5.
Ke mana selepas ini?
Log juga membantu apabila lengkung ditukar menjadi garis lurus. Cuba meluruskan hubungan eksponen seterusnya, kemudian uji diri dengan set latihan campuran.
Jika anda kerap terjumpa punca tambahan yang salah di akhir penyelesaian, guru kami boleh menyemak kerja bertulis anda dan membantu anda membina tabiat menyemak dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.