位移是速度的定积分。 如果粒子的速度是 v(t)，它从 t = a 到 t = b 的位置变化就是 v 从 a 到 b 的积分。符号很重要：位移为正，表示粒子最后停在起点的正方向一侧。
本课把求曲线与坐标轴之间的面积的想法用到速度-时间图上。图线下的面积就是位移，速度改变符号时，同样适用上一课的分段规则。
面积和运动有什么关系？
速度恒定时，路程是速度 × 时间。速度-时间图的纵轴是速度，所以图上一条薄竖条的高度是 v，宽度是 dt，面积就是速度 × 时间，也就是一小段位移。
把所有竖条加起来，得到位移 = ∫ v dt。不带上下限积分并加上常数，得到的是位置：s = ∫ v dt + c。
位移题的书写步骤
- 写出速度函数和时间区间。
- 逐项积分，得到 F(t)。
- 代入上下限，位移等于 F(上限) − F(下限)。
- 求位置时，用题目给的条件，例如 t = 0 时 s = 5，确定常数。
- 写出带单位的答案，方向重要时要带符号。
例题
粒子沿直线运动，速度为 v = 2t + 3 m/s（t ≥ 0）。t = 0 时，它位于原点 O 的正方向一侧 5 m 处。
求 (a) t = 0 到 t = 4 的位移，(b) t = 4 时的位置。
(a) 积分： F(t) = t² + 3t。
F(4) = 16 + 12 = 28，F(0) = 0。
位移 = 28 m。
(b) 位置： s = t² + 3t + c。t = 0 时 s = 5，所以 c = 5。
t = 4 时：s = 16 + 12 + 5 = 距 O 33 m。
检查： 起初速度是 3 m/s，最后是 11 m/s，平均为 7 m/s。4 秒内得到 7 × 4 = 28 m。位置就是这段位移再加上起点的 5 m，即 33 m。
要留意的错误
常见的失误是把某一个速度直接乘以时间，好像速度是恒定的。
错误答案： t = 4 时 v = 11，所以位移 = 11 × 4 = 44 m。
学生把终点速度代入 s = vt。可是这四秒里速度从 3 变到了 11。
纠正方法是积分。s = vt 只有在速度恒定时才成立，而这里速度在变。只要速度是关于 t 的公式，就要积分。
自我检测
先在纸上做，再打开每个答案。
1. 粒子速度为 v = 6t² m/s。求它从 t = 1 到 t = 3 的位移。
显示答案
F(t) = 2t³。F(3) = 54，F(1) = 2。
54 − 2 = 52 m
2. 粒子速度为 v = 8 − 2t m/s。求它从 t = 0 到 t = 6 的位移。
显示答案
F(t) = 8t − t²。F(6) = 48 − 36 = 12，F(0) = 0。
位移 = 12 m
检查：速度在 t = 4 时为零。粒子前 4 秒向前移动 16 m，之后向后 4 m，净位移是 12 m。
3. 粒子速度为 v = 4t − 3 m/s，t = 1 时距 O 2 m。求 t = 3 时的位置。
显示答案
s = 2t² − 3t + c。t = 1 时：2 − 3 + c = 2，所以 c = 3。
t = 3 时：s = 18 − 9 + 3 = 距 O 12 m。
用位移检查：1 到 3 的位移是 (18 − 9) − (2 − 3) = 10，而 2 + 10 = 12。
接下来学什么
下一课看路程与位移的区别，粒子折返时这一点很关键。之后，联系位置、速度与加速度会把积分和微分串成一条链。
如果运动题感觉像是和微积分不同的另一门科目，最好早点把两者连起来。一对一线上附加数学补习的老师可以用你自己的解题过程，示范速度、位移和积分是怎样对应的。