Sesaran ialah kamiran tentu bagi halaju. Jika zarah mempunyai halaju v(t), perubahan kedudukannya dari t = a ke t = b ialah kamiran v dari a ke b. Tanda itu penting: sesaran positif bermaksud zarah berakhir di arah positif daripada tempat ia bermula.
Pelajaran ini menggunakan idea luas daripada mencari luas antara lengkung dan paksi pada graf halaju-masa. Luas di bawah graf ialah sesaran, dan peraturan pemecahan daripada pelajaran sebelum ini digunakan apabila halaju bertukar tanda.
Bagaimanakah luas berkait dengan gerakan?
Jarak ialah laju × masa apabila laju malar. Graf halaju-masa melukis halaju pada paksi menegak, jadi jalur nipis graf mempunyai tinggi v dan lebar dt, dan luasnya ialah halaju × masa, iaitu sesaran kecil.
Menjumlahkan semua jalur memberi sesaran = ∫ v dt. Mengamir tanpa had dan menambah pemalar memberi kedudukan: s = ∫ v dt + c.
Cara menyusun jawapan soalan sesaran
- Tulis fungsi halaju dan selang masa.
- Amirkan sebutan demi sebutan untuk mendapat F(t).
- Gantikan had sebagai F(atas) − F(bawah) untuk sesaran.
- Untuk kedudukan, gunakan maklumat yang diberi, seperti s = 5 apabila t = 0, untuk mencari pemalar.
- Nyatakan jawapan dengan unit dan tanda jika arah penting.
Contoh berlangkah
Zarah bergerak pada garis lurus dengan halaju v = 2t + 3 m/s untuk t ≥ 0. Pada t = 0 ia berada 5 m dari asalan O, di sebelah positif.
Cari (a) sesaran dari t = 0 hingga t = 4, dan (b) kedudukannya pada t = 4.
Bahagian (a), kamiran: F(t) = t² + 3t.
F(4) = 16 + 12 = 28 dan F(0) = 0.
Sesaran = 28 m.
Bahagian (b), kedudukan: s = t² + 3t + c. Pada t = 0, s = 5, jadi c = 5.
Pada t = 4: s = 16 + 12 + 5 = 33 m dari O.
Semakan: halajunya 3 m/s pada mulanya dan 11 m/s pada akhir, jadi puratanya 7 m/s. Dalam 4 saat, itu memberi 7 × 4 = 28 m. Kedudukan ialah sesaran itu ditambah 5 m permulaan, iaitu 33 m.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah mendarab satu nilai halaju dengan masa, seolah-olah halaju itu malar.
Jawapan yang salah: pada t = 4, v = 11, jadi sesaran = 11 × 4 = 44 m.
Pelajar menggunakan s = vt dengan halaju akhir. Sebenarnya halaju berubah daripada 3 kepada 11 sepanjang empat saat itu.
Pembetulannya ialah mengamir. Formula s = vt hanya berfungsi apabila halaju malar, dan di sini ia tidak malar. Apabila halaju diberi sebagai formula dalam t, amirkan.
Semak sendiri
Cuba di atas kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Zarah mempunyai halaju v = 6t² m/s. Cari sesarannya dari t = 1 hingga t = 3.
Tunjukkan jawapan
F(t) = 2t³. F(3) = 54 dan F(1) = 2.
54 − 2 = 52 m
2. Zarah mempunyai halaju v = 8 − 2t m/s. Cari sesarannya dari t = 0 hingga t = 6.
Tunjukkan jawapan
F(t) = 8t − t². F(6) = 48 − 36 = 12 dan F(0) = 0.
Sesaran = 12 m
Semakan: halaju sifar pada t = 4. Zarah bergerak ke hadapan 16 m dalam 4 saat pertama, kemudian ke belakang 4 m, jadi bersihnya 12 m.
3. Zarah mempunyai halaju v = 4t − 3 m/s dan berada 2 m dari O apabila t = 1. Cari kedudukannya apabila t = 3.
Tunjukkan jawapan
s = 2t² − 3t + c. Pada t = 1: 2 − 3 + c = 2, jadi c = 3.
Pada t = 3: s = 18 − 9 + 3 = 12 m dari O.
Semakan melalui sesaran: dari 1 ke 3 ialah (18 − 9) − (2 − 3) = 10, dan 2 + 10 = 12.
Ke mana selepas ini
Pelajaran seterusnya melihat jarak yang dilalui berbanding sesaran, yang penting apabila zarah berpatah balik. Selepas itu, menghubungkan kedudukan, halaju dan pecutan menyatukan pengamiran dan pembezaan dalam satu rantai.
Jika soalan gerakan terasa seperti topik yang berasingan daripada kalkulus, guru yang ditugaskan dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh menghubungkan keduanya menggunakan penyelesaian anda sendiri.