Untuk mencari luas antara lengkung dan paksi-x, amirkan fungsi itu dan tolak nilai pada had bawah daripada nilai pada had atas. Pelajaran ini meliputi lengkung yang kekal di atas paksi. Pelajaran seterusnya menangani lengkung yang melintasi paksi.
Ini pelajaran pertama dalam luas dan gerakan, dan bergantung pada mengamir kuasa dengan pemalar yang betul serta menilai kamiran tentu dengan had yang betul.
Apakah yang sebenarnya diukur oleh kamiran?
Bayangkan rantau itu dipotong kepada jalur menegak yang sangat nipis. Setiap jalur mempunyai tinggi y dan lebar yang kecil, jadi luasnya lebih kurang y × lebar. Menjumlahkan semua jalur dari x = a hingga x = b memberi kamiran tentu y dari a ke b.
Jika F ialah hasil kamiran bagi y, maka luasnya ialah F(b) − F(a). Pemalar kamiran saling hapus, jadi anda tidak perlu menulisnya.
Cara menyusun jawapan soalan luas
- Kenal pasti had. Gunakan nilai x yang diberi, atau selesaikan y = 0 jika rantau dibatasi oleh lengkung dan paksi.
- Lakar dengan cepat. Pastikan lengkung berada di atas paksi-x antara had itu. Jika anda melangkau langkah ini, anda akan terlepas perubahan tanda.
- Amirkan setiap sebutan: tambah satu pada kuasa dan bahagi dengan kuasa baharu.
- Gantikan had atas, kemudian had bawah, dalam kurungan.
- Tolak dan permudahkan. Tulis jawapan dengan unit persegi jika soalan memberi unit.
Contoh berlangkah
Cari luas antara lengkung y = 3x² + 2, paksi-x, dan garis x = 1 serta x = 3.
Langkah 1, had: x = 1 dan x = 3. Lengkung 3x² + 2 sentiasa positif, jadi ia kekal di atas paksi.
Langkah 2, kamiran: 3x² menjadi x³ dan 2 menjadi 2x, jadi F(x) = x³ + 2x.
Langkah 3, had atas: F(3) = 27 + 6 = 33.
Langkah 4, had bawah: F(1) = 1 + 2 = 3.
Langkah 5, tolak: 33 − 3 = 30.
Luas = 30 unit persegi.
Semakan: pada x = 1 tingginya 5 dan pada x = 3 tingginya 29. Lebarnya 2, jadi luas mesti antara 10 dan 58. Nilai 30 sesuai. Ia juga kurang sedikit daripada 34, iaitu luas trapezium antara dua hujung, dan itu wajar bagi lengkung yang melengkung ke atas.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menggantikan had atas sahaja lalu berhenti.
Jawapan yang salah: F(3) = 33, jadi luasnya 33.
Pelajar menganggap kamiran sebagai “luas sehingga x = 3”, lalu terlupa bahawa rantau itu bermula pada x = 1.
Pembetulannya ialah menulis kedua-dua kurungan setiap kali: F(3) − F(1). Had bawah membuang luas di sebelah kiri x = 1. Di sini nilainya 3, jadi jawapan turun daripada 33 kepada 30.
Semak sendiri
Cuba di atas kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari luas antara y = 2x + 3, paksi-x, x = 0 dan x = 4.
Tunjukkan jawapan
F(x) = x² + 3x. F(4) = 16 + 12 = 28 dan F(0) = 0. Luas = 28 − 0 = 28.
Semakan dengan trapezium: tinggi 3 dan 11, lebar 4, jadi ½ × (3 + 11) × 4 = 28.
28 unit persegi
2. Cari luas di bawah y = √x antara x = 0 dan x = 9.
Tunjukkan jawapan
Tulis √x sebagai x1/2. F(x) = (2/3) x3/2. F(9) = (2/3) × 27 = 18 dan F(0) = 0.
18 unit persegi
3. Lengkung y = x(4 − x) menyentuh paksi-x pada dua titik. Cari luas rantau yang dikelilingi oleh lengkung dan paksi itu.
Tunjukkan jawapan
Puncanya ialah x = 0 dan x = 4, dan lengkung berada di atas paksi antara kedua-duanya. Kembangkan: y = 4x − x². F(x) = 2x² − x³/3.
F(4) = 32 − 64/3 = 32/3 dan F(0) = 0.
32/3 unit persegi (10⅔)
Ke mana selepas ini
Seterusnya, lihat apa yang perlu dibuat apabila luas bertanda bertukar tanda, kemudian gunakan latihan kerja tanpa kalkulator untuk berlatih mengira pecahan dalam had. Penjelajah struktur kuadratik membantu anda mencari punca dan melakar parabola sebelum mengamir.
Jika pengamiran anda baik tetapi anda sukar memutuskan apa yang diminta soalan, guru yang ditugaskan dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh membimbing anda menggunakan kertas latihan anda sendiri.