Sesaran ialah perubahan bersih kedudukan. Jarak yang dilalui ialah jumlah panjang laluan. Keduanya berbeza apabila zarah berpatah arah, kerana gerakan ke belakang menghapuskan gerakan ke hadapan dalam sesaran tetapi tetap menambah jarak.
Kaedahnya sama seperti memecahkan selang apabila luas bertanda berubah, tetapi digunakan pada halaju. Anda juga memerlukan mengira sesaran daripada halaju.
Apakah beza antara jarak dan sesaran?
Bayangkan bas yang memandu 4 km ke timur, kemudian 4 km ke barat kembali ke depoh. Sesarannya 0 km kerana ia berakhir di tempat ia bermula. Jarak yang dilaluinya 8 km.
Dalam kalkulus, sesaran ialah ∫ v dt, yang membenarkan bahagian ke hadapan dan ke belakang saling hapus. Jarak ialah ∫ |v| dt, yang menganggap setiap bahagian sebagai positif. Dalam amalan, anda mencarinya dengan memecahkan pada v = 0.
Cara mencari jarak yang dilalui
- Selesaikan v = 0 untuk mencari bila zarah rehat.
- Simpan masa dalam selang. Ini titik pemecahan.
- Amirkan v bagi setiap bahagian untuk mendapat sesaran bahagian itu.
- Ambil nilai positif setiap bahagian.
- Jumlahkan. Jumlah itu ialah jarak.
Untuk sesaran sahaja, amirkan sekali merentas seluruh selang.
Contoh berlangkah
Zarah bergerak dengan halaju v = 3t² − 12t + 9 m/s untuk 0 ≤ t ≤ 4. Cari (a) sesaran dan (b) jarak yang dilalui.
Langkah 1, pemfaktoran: v = 3(t² − 4t + 3) = 3(t − 1)(t − 3). Jadi v = 0 pada t = 1 dan t = 3, kedua-duanya dalam selang.
Langkah 2, kamiran: fungsi sesaran dari permulaan pada masa t ialah s = t³ − 6t² + 9t, kerana kita mengukur dari t = 0.
s(0) = 0, s(1) = 1 − 6 + 9 = 4, s(3) = 27 − 54 + 27 = 0, s(4) = 64 − 96 + 36 = 4.
Bahagian (a), sesaran: s(4) − s(0) = 4 − 0 = 4 m.
Bahagian (b), jarak mengikut bahagian:
- 0 hingga 1: s berubah daripada 0 kepada 4, jadi 4 m ke hadapan.
- 1 hingga 3: s berubah daripada 4 kepada 0, jadi 4 m ke belakang.
- 3 hingga 4: s berubah daripada 0 kepada 4, jadi 4 m ke hadapan.
Jarak = 4 + 4 + 4 = 12 m.
Semakan: tanda v mengesahkan arah. Pada t = 0, v = 9 (ke hadapan). Pada t = 2, v = 12 − 24 + 9 = −3 (ke belakang). Pada t = 4, v = 48 − 48 + 9 = 9 (ke hadapan).
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah memberi sesaran apabila soalan meminta jarak.
Jawapan yang salah: jaraknya s(4) − s(0) = 4 m.
Pelajar mengamir sekali merentas seluruh selang. Bahagian ke hadapan dan ke belakang sebahagiannya saling hapus, jadi 4 m ialah perubahan bersih, bukan panjang laluan.
Pembetulannya ialah menyenaraikan masa v = 0 dahulu. Jika mana-mana daripadanya terletak di dalam selang dan v bertukar tanda di situ, kedua-dua jawapan akan berbeza. Sentiasa garis bawahi perkataan dalam soalan: jarak, sesaran, kedudukan atau kedudukan akhir.
Semak sendiri
Cuba di atas kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Zarah mempunyai halaju v = 8 − 2t m/s untuk 0 ≤ t ≤ 6. Cari jarak yang dilalui.
Tunjukkan jawapan
v = 0 pada t = 4. Fungsi sesarannya s = 8t − t².
s(0) = 0, s(4) = 32 − 16 = 16, s(6) = 48 − 36 = 12.
Dari 0 ke 4: 16 m ke hadapan. Dari 4 ke 6: 4 m ke belakang.
Jarak = 16 + 4 = 20 m (sesarannya 12 m)
2. Zarah mempunyai halaju v = t² − 4 m/s untuk 0 ≤ t ≤ 3. Cari sesaran dan jarak yang dilalui.
Tunjukkan jawapan
v = 0 pada t = 2. Fungsi sesarannya s = t³/3 − 4t.
s(0) = 0, s(2) = 8/3 − 8 = −16/3, s(3) = 9 − 12 = −3.
Sesaran = s(3) − s(0) = −3 m.
Dari 0 ke 2: 16/3 m ke belakang. Dari 2 ke 3: −3 − (−16/3) = 7/3 m ke hadapan.
Jarak = 16/3 + 7/3 = 23/3 m (7⅔ m)
3. Zarah mempunyai halaju v = 2t + 1 m/s untuk 0 ≤ t ≤ 3. Tanpa memecahkan apa-apa, terangkan mengapa jarak sama dengan sesaran, dan cari nilainya.
Tunjukkan jawapan
Bagi t ≥ 0, 2t + 1 sentiasa positif, jadi zarah tidak pernah berpatah balik.
s = t² + t. s(3) − s(0) = 12 − 0.
Jarak = sesaran = 12 m
Ke mana selepas ini
Seterusnya, menghubungkan kedudukan, halaju dan pecutan mengaitkan kamiran ini dengan pembezaan dalam satu rantai. Anda boleh melatih pengiraan bertanda dengan latihan kerja tanpa kalkulator dan menyemak pemfaktoran dengan penjelajah struktur kuadratik.
Soalan yang menguji jarak dan sesaran serentak lebih mudah dijawab dengan rutin yang tetap berbanding kerja yang tergesa-gesa. Guru yang ditugaskan dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh membantu anda membina rutin itu.