这套练习有十二道原创题，由易到难，覆盖面积与运动的全部五课。第 1 到 4 题是基本面积，第 5 到 7 题涉及根和符号变化，第 8 到 9 题是位移和路程，第 10 到 12 题把整条链混合起来。
每道题先在纸上做，再打开答案。把上下限、原函数和每一次代入分成单独的几行写出来。
标出做错的题，并用最后的分类清单找对应的课。错题记录与重测队列可以记下错误类型，方便之后重测。
题目
1. 求 y = x²、x 轴、x = 0 和 x = 3 之间的面积。
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F(x) = x³/3。F(3) = 9，F(0) = 0。
9 平方单位
2. 求 y = 4x³ + 1、x 轴、x = 1 和 x = 2 之间的面积。
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F(x) = x⁴ + x。F(2) = 16 + 2 = 18，F(1) = 1 + 1 = 2。
18 − 2 = 16 平方单位
3. 求 y = 3√x、x 轴、x = 1 和 x = 4 之间的面积。
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把 3√x 写成 3x1/2。F(x) = 2x3/2。
F(4) = 2 × 8 = 16，F(1) = 2 × 1 = 2。
16 − 2 = 14 平方单位
4. 求 y = 1/x²、x 轴、x = 1 和 x = 4 之间的面积。
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把 1/x² 写成 x−2。F(x) = −x−1 = −1/x。
F(4) = −1/4，F(1) = −1。
−1/4 − (−1) = 3/4 平方单位
5. 曲线 y = x² − 6x + 8 与 x 轴交于两点。求曲线与 x 轴围成的区域面积。
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解 (x − 2)(x − 4) = 0，根为 x = 2 和 x = 4。两根之间曲线在轴下方。
F(x) = x³/3 − 3x² + 8x。F(4) = 64/3 − 48 + 32 = 16/3。F(2) = 8/3 − 12 + 16 = 20/3。
F(4) − F(2) = −4/3。面积取正值。
4/3 平方单位
6. 对同一条曲线 y = x² − 6x + 8，求它与 x 轴在 x = 0 到 x = 4 之间的总面积。
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根 x = 2 在区间内，所以在此分段。用 F(x) = x³/3 − 3x² + 8x，F(0) = 0，F(2) = 20/3，F(4) = 16/3。
0 到 2：20/3 − 0 = 20/3，在轴上方。
2 到 4：16/3 − 20/3 = −4/3，所以面积是 4/3。
总面积 = 20/3 + 4/3 = 24/3 = 8 平方单位。
注意：从 0 到 4 一次积分会得到 16/3，作为面积是错的。
7. 证明 y = x³ − x 在 x = −1 到 x = 1 之间的积分为 0，再求曲线与 x 轴之间的总面积。
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F(x) = x⁴/4 − x²/2。F(−1) = 1/4 − 1/2 = −1/4，F(0) = 0，F(1) = −1/4。
整个区间：F(1) − F(−1) = −1/4 − (−1/4) = 0。
根为 x = −1、0 和 1，所以在 0 处分段。−1 到 0：0 − (−1/4) = 1/4。0 到 1：−1/4 − 0 = −1/4，所以面积是 1/4。
总面积 = 1/4 + 1/4 = 1/2 平方单位
8. 粒子沿直线运动，速度为 v = 6t − 2 m/s。求它从 t = 0 到 t = 3 的位移。
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F(t) = 3t² − 2t。F(3) = 27 − 6 = 21，F(0) = 0。
位移 = 21 m
9. 粒子速度为 v = 2t − 6 m/s（0 ≤ t ≤ 5）。求它的位移和走过的路程。
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v = 0 时 t = 3，在区间内。s = t² − 6t，所以 s(0) = 0，s(3) = 9 − 18 = −9，s(5) = 25 − 30 = −5。
位移 = s(5) − s(0) = −5 m。
0 到 3，粒子向负方向移动 9 m。3 到 5，它向正方向移动 −5 − (−9) = 4 m。
路程 = 9 + 4 = 13 m
10. 粒子加速度为 a = 2t − 4 m/s²。t = 0 时速度为 3 m/s。求 t = 5 时的速度，以及它瞬间静止的时刻。
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v = t² − 4t + c。t = 0 时 v = 3，所以 c = 3。于是 v = t² − 4t + 3。
t = 5 时：v = 25 − 20 + 3 = 8 m/s。
v = (t − 1)(t − 3) = 0，所以粒子在 t = 1 和 t = 3 时静止。
11. 接着第 10 题的粒子，假设它从原点 O 出发。求它在 t = 3 时的位置，以及 t = 0 到 t = 3 走过的路程。
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s = t³/3 − 2t² + 3t，s(0) = 0。
s(1) = 1/3 − 2 + 3 = 4/3。s(3) = 9 − 18 + 9 = 0。
t = 3 时的位置是 0 m，也就是回到了 O。
0 到 1，它向前移动 4/3 m。1 到 3，它向后移动 4/3 m，因为 v 在 1 和 3 之间为负（例如 v(2) = −1）。
路程 = 4/3 + 4/3 = 8/3 m（2⅔ m），而位移是 0。
12. 粒子的位置为 s = t³ − 9t² + 24t 米（距 O，t ≥ 0）。求它每次静止时的速度和加速度，再求 t = 0 到 t = 5 走过的路程。
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v = 3t² − 18t + 24 = 3(t − 2)(t − 4)，所以 t = 2 和 t = 4 时 v = 0。a = 6t − 18。
t = 2 时：a = −6 m/s²。t = 4 时：a = 6 m/s²。
各位置：s(0) = 0，s(2) = 8 − 36 + 48 = 20，s(4) = 64 − 144 + 96 = 16，s(5) = 125 − 225 + 120 = 20。
0 到 2：向前 20 m。2 到 4：向后 4 m。4 到 5：向前 4 m。
路程 = 20 + 4 + 4 = 28 m，位移是 20 m。
如果做错了
把错误类型对应到能解决它的那一课。
- 第 1 到 4 题，面积不对或忘了下限： 重温求曲线与坐标轴之间的面积。每次都写 F(上限) − F(下限)。
- 第 5 到 7 题，面积变成零或偏小： 重温面积符号改变时分段积分。积分前先解 y = 0 并画草图。
- 第 8 和 10 题，把速度直接乘以时间或运算选错： 重温由速度计算位移，再看联系位置、速度与加速度。
- 第 9、11、12 题，路程当成了位移： 重温区分路程与位移。先列出 v = 0 的时刻。
- 第 10 到 12 题，漏了常数或链的方向错了： 重温联系位置、速度与加速度。
- 上下限里的分数出错： 用无计算器步骤训练器练习，并用二次函数结构探索器检查根。
如果同一种模式在几道题里重复出现，可以让一对一线上附加数学补习的老师看你的书面步骤，找出是草图、符号还是运动题的读法出了问题。