当曲线在你的上下限之间穿过 x 轴时，在每个交点处分段，分别积分，再把各段的大小相加。轴下方的面积会给出负的积分值，所以相加前要取每一段的正值。
这是求曲线与坐标轴之间的面积之后自然的下一步。它也为路程与位移的区别打基础，两者用的是同一个想法。
积分为什么会抵消？
定积分把每一条薄竖条的 y × 宽度加起来。在轴上方 y 为正，竖条增加面积；在轴下方 y 为负，竖条减少面积。
所以积分给出的是带符号的面积：上方面积减去下方面积。如果两者相等，结果就是零，尽管区域并不是空的。
如何求真实面积
- 求根。 解 y = 0，看曲线在哪里与轴相交。
- 保留区间内的根。 每一个都是分段点。
- 画草图。 标出哪些段在轴上方，哪些在轴下方。
- 每一段分别积分，用 F(上限) − F(下限)。
- 把每一段变成正数。 负的结果只说明该段在轴下方，去掉负号即可。
- 相加这些正的面积。
例题
求 y = x² − 4x + 3 与 x 轴在 x = 0 到 x = 3 之间的总面积。
第 1 步，求根： x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = 0，所以 x = 1 和 x = 3。
第 2 步，分段点： x = 1 在区间内。另一个根 x = 3 本来就是上限。
第 3 步，草图： 曲线开口向上。x < 1 时在轴上方，x = 1 到 x = 3 之间在轴下方。
第 4 步，积分： F(x) = x³/3 − 2x² + 3x。
F(0) = 0，F(1) = 1/3 − 2 + 3 = 4/3，F(3) = 9 − 18 + 9 = 0。
第 5 步，每一段：
- 0 到 1：F(1) − F(0) = 4/3。在轴上方，所以面积是 4/3。
- 1 到 3：F(3) − F(1) = 0 − 4/3 = −4/3。在轴下方，所以面积是 4/3。
第 6 步，相加： 4/3 + 4/3 = 8/3。
总面积 = 8/3 平方单位。
检查： x = 1 到 x = 3 之间的凹陷是一个宽 2、深 1 的抛物线弓形，面积是外框矩形的三分之二，即 (2/3) × 2 × 1 = 4/3，吻合。
要留意的错误
常见的失误是从 0 到 3 一次积分到底。
错误答案： F(3) − F(0) = 0 − 0 = 0，所以面积是 0。
正的 4/3 和负的 4/3 互相抵消，学生因此以为没有面积。
纠正方法是积分之前先检查区间内有没有根。只要题目问“面积”而曲线穿过了轴，就先分段。整段积分得出零是一个警告，不是答案。
自我检测
先在纸上做，再打开每个答案。
1. 求 y = x² − 9 与 x 轴围成的区域面积。
显示答案
根：x = −3 和 x = 3。两根之间曲线在轴下方。F(x) = x³/3 − 9x。
F(3) = 9 − 27 = −18，F(−3) = −9 + 27 = 18。积分值为 −18 − 18 = −36。
面积取正值：36 平方单位。
检查：宽 6、深 9 的抛物线弓形，面积为 (2/3) × 6 × 9 = 36。
2. 求 y = x² − 2x 与 x 轴在 x = 1 到 x = 4 之间的总面积。
显示答案
根：x = 0 和 x = 2。只有 x = 2 在区间内。F(x) = x³/3 − x²。
F(1) = −2/3，F(2) = −4/3，F(4) = 64/3 − 16 = 16/3。
1 到 2：−4/3 − (−2/3) = −2/3，所以面积是 2/3。2 到 4：16/3 + 4/3 = 20/3。
总面积 = 2/3 + 20/3 = 22/3 平方单位（7⅓）
3. 证明 y = x³ 在 −1 到 1 之间的积分为零，再求该区间内曲线与 x 轴之间的真实面积。
显示答案
F(x) = x⁴/4。F(1) = 1/4，F(−1) = 1/4，所以积分为 0。
曲线在 x = 0 处穿过轴。0 到 1 的面积是 1/4。−1 到 0 的值是 F(0) − F(−1) = −1/4，所以面积是 1/4。
总面积 = 1/2 平方单位
接下来学什么
同样的分段想法也用在由速度计算位移中，那里“在轴下方”表示向后移动。你可以先用二次函数结构探索器看根和草图再积分，并用无计算器步骤训练器检查分数运算。
会方法却忘了求根这一步的学生，通常需要把这个步骤写进自己的解题流程。一对一线上附加数学补习的老师会陪你把“先求根、再画草图”变成每题的第一步。