精确值指的是保留根式和分数的答案，而不是四舍五入的小数。每当题目写着“exact”“without a calculator”或“give your answer in surd form”，就需要这项技能。它也是进阶免计算器推理其余内容的基础。
精确值从哪里来？
画一个边长为 1 的正方形，沿对角线切开，得到边长为 1、1、√2 的等腰直角三角形。
再画一个边长为 2 的等边三角形，从中间切成两半，得到边长为 1、√3、2 的直角三角形，角度为 30° 和 60°。
从这两张草图读出比值，就得到下表：
| 角度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
注意 sin 30° = cos 60°，sin 60° = cos 30°。互余的两个角，正弦与余弦互换。
怎样有理化分母？
如果分母是单个根式，例如 √5，就把分子和分母同乘 √5。所以 10/√5 = 10√5/5 = 2√5。
如果分母是和或差，例如 √3 − 1，就同乘共轭式 √3 + 1。于是 (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2，变成整数。
例题
不用计算器，求 (tan 60° + 1)/(tan 60° − 1) 的精确值，答案写成 a + b√3 的形式。
第 1 步，代入精确值： tan 60° = √3，所以表达式是 (√3 + 1)/(√3 − 1)。
第 2 步，有理化： 分子分母同乘 √3 + 1。
第 3 步，分母： (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2。
第 4 步，分子： (√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3。
第 5 步，相除： (4 + 2√3)/2 = 2 + √3。
检验： 取 √3 ≈ 1.732，原式是 2.732/0.732 ≈ 3.732，而 2 + √3 ≈ 3.732。两者一致。
要提防的错误
常见的失误是平方括号时漏掉中间项。
错误写法： (√3 + 1)² = 3 + 1 = 4
学生把每一项各自平方，忘了 2 × √3 × 1。
纠正方法是把 (√3 + 1)(√3 + 1) 完整展开，得 3 + √3 + √3 + 1 = 4 + 2√3。用小数粗略一算就能发现问题：2.732² 约为 7.46，不是 4。
自我检测
先不用计算器做，再打开答案。
1. 求 cos 30° × tan 60° 的精确值。
显示答案
cos 30° = √3/2，tan 60° = √3。乘积是 (√3 × √3)/2 = 3/2。
3/2
2. 把 10/√5 的分母有理化。
显示答案
分子分母同乘 √5：10√5/5 = 2√5。检验：10/2.236 ≈ 4.472，2√5 ≈ 4.472。
3. 求 sin 45° × cos 45° 的精确值。
显示答案
两者都是 √2/2，所以乘积是 (√2/2)² = 2/4 = 1/2。
接下来学什么
精确值熟练之后，继续学先用代数，再做数值代入。三角形推理板和免计算器演算训练器可以让你检验自己的精确答案。
有些学生能背出这张表，可一出现在较长的题目里就卡住。一对一线上附加数学补习的老师可以看你的步骤，找出是在哪一步用错了精确值。