为什么代几个数不算证明？

几个例子只能支持一个规律。关于所有整数的说法，需要对任意整数都成立的论证，这就是证明要用 n 这样的字母的原因。不过，只要一个反例（counterexample），就足以推翻一个说法。

证明里的理由应该怎么写？

用文字写出你用到的事实，例如“两个连续整数中必有一个是偶数”，或“该式是某个整数的 8 倍”。通常理由和代数各有分数。请留意题目中的指令词。

分解或变形，直到这个数作为括号外的因数出现，例如 4n(n + 1)。然后说明剩下的部分为什么是整数，并利用额外的事实，例如 n(n + 1) 是偶数，得出你想要的倍数。

证明要说明一个命题对每一个允许的值都成立，而不只是你试过的那几个。题目会用“show that”“prove that”或“explain why”，而计算器无法给出的一步，就是理由。这是进阶免计算器推理的核心技能。

简短的代数证明有三个部分：

把 n 换成 1、2、3 可以提示规律，但它不是第 3 步。

证明：对每个正整数 n，(2n + 1)² − 1 都是 8 的倍数。

第 1 步，展开： (2n + 1)² − 1 = 4n² + 4n + 1 − 1 = 4n² + 4n。

第 2 步，分解： 4n² + 4n = 4n(n + 1)。

第 3 步，说明理由： n 和 n + 1 是连续整数，所以其中一个是偶数。因此 n(n + 1) 是偶数，即 n(n + 1) = 2k，k 为某个整数。

第 4 步，得出结论： 4n(n + 1) = 4 × 2k = 8k。所以该式是 8 的倍数。

用数字检验（不是证明，但是有用的测试）： n = 1 得 9 − 1 = 8，n = 2 得 25 − 1 = 24 = 8 × 3，n = 3 得 49 − 1 = 48 = 8 × 6。都是 8 的倍数。

计算器可以为你选定的 n 算出最后一行，却无法告诉你为什么这个式子永远是 8 的倍数。第 3 步的那句话，就是理由。

常见的失误是试了几个值就说这是证明。

错误写法： “n = 1、2、3 时答案是 8、24、48，都是 8 的倍数，所以永远成立。”

学生只展示了三种情形，而不是所有情形。

纠正方法是用字母 n，分解成 4n(n + 1)，并给出 n(n + 1) 是偶数的理由。一个说法也可能在许多次成功之后失败：n² + n + 41 对 n = 1 到 39 都是质数，但 n = 40 得 1681 = 41²。

先不用计算器做，再打开答案。

1. 证明：对每个整数 n，(n + 3)² − (n − 3)² 都是 12 的倍数。

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展开：(n² + 6n + 9) − (n² − 6n + 9) = 12n。因为 n 是整数，12n 是 12 的整数倍，所以它是 12 的倍数。

2. 给出“对每个正整数 n，n² + n + 41 都是质数”这个说法的一个反例。

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取 n = 40：1600 + 40 + 41 = 1681，而 41 × 41 = 1681。所以 1681 不是质数，这个说法是错的。

3. 解释为什么任意三个连续整数之和都能被 3 整除。

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设这三个整数为 n − 1、n 和 n + 1。它们的和是 3n，是 3 的整数倍。所以它能被 3 整除。

有些学生代数做对了，却在文字表述上丢分。老师在一对一线上附加数学补习中，会像看你的等式一样仔细地看你写的句子。