独立检验是通向同一结果的第二条路，选择时要让第一条路里的失误不容易重复。它是进阶免计算器推理的最后一个习惯，保护你已经赚到的分数。
哪些检验既省时又不同？
- 代入： 把答案代回原方程，而不是你变形后的版本。
- 根的和与积： 对 ax² + bx + c = 0，两根之和为 −b/a，两根之积为 c/a。
- 估算： 用方便的小数，例如 √3 ≈ 1.73，看大小是否合理。
- 测试简单的值： 在恒等式两边代入 x = 1 或 x = 2 这样的值。
选一个不重复你先前步骤的。
例题
解 3x² − 5x − 2 = 0，然后检验。
方法 1，因式分解： 3x² − 5x − 2 = (3x + 1)(x − 2)。令每个括号等于零，得 x = −1/3 和 x = 2。
检验 A，根的和： 两根之和应为 −b/a = 5/3。这里 −1/3 + 2 = 5/3。✓
检验 B，根的积： 两根之积应为 c/a = −2/3。这里 (−1/3) × 2 = −2/3。✓
检验 C，代入 x = 2： 3(4) − 10 − 2 = 12 − 12 = 0。✓
检验 D，求根公式： x = (5 ± √(25 + 24))/6 = (5 ± 7)/6，得 2 和 −1/3。✓
检验 A 和 B 大约十秒，且没有重用因式分解，所以独立于方法 1。
要提防的错误
常见的失误是正负号颠倒，而同一种方法看不出来。
错误答案： x = −2 和 x = 1/3
学生括号写对了，却用错误的符号令它们等于零。
把同样的步骤重做一遍，很可能得到同样的错误。根的和立刻就能暴露它：−2 + 1/3 = −5/3，可方程要求的是 +5/3。这个不吻合提醒学生回头再看。
自我检测
先不用计算器做，再打开答案。
1. 一位学生说 x² − 7x + 12 = 0 的根是 3 和 4。用和与积来检验。
显示答案
和应为 7，积应为 12。这里 3 + 4 = 7，3 × 4 = 12。两者都吻合，所以这两个根是对的。
2. 解 √(x + 6) = x，然后把每个答案代回原方程检验。
显示答案
平方：x + 6 = x²，所以 x² − x − 6 = 0，得 (x − 3)(x + 2) = 0。测试 x = 3：√9 = 3 ✓。测试 x = −2：√4 = 2，但右边是 −2，所以 ✗。唯一的解是 x = 3。
3. 展开 (√5 + 1)²，并用 √5 ≈ 2.236 检验。
显示答案
(√5 + 1)² = 5 + 2√5 + 1 = 6 + 2√5。检验：6 + 4.472 = 10.472，而 (3.236)² = 10.472。两者一致。
接下来学什么
在综合练习中把五课结合起来，并把失误记在错题记录里。二次式结构探索器和免计算器演算训练器可以帮你事后测试结果。
有些学生知道怎么检验，却在压力下跳过。老师会在一对一线上附加数学补习中，帮你建立一套考试时间里放得下的检验流程。