仰角（angle of elevation）是从观察者眼睛处的水平线向上量到视线的角。要使用它，先画一个直角三角形：水平线是一条直角边，竖直的高度是另一条直角边，视线是斜边。
这项技能把日常描述与直角三角形三角学中的比值联系起来，常见于塔、杆、悬崖和斜坡的题目。
怎样把文字变成三角形？
仰角和俯角都从水平线开始。所以第一件事是画出这条线，再画视线，然后用一条竖直线把两者连起来。
俯角（angle of depression）则是在观察者处的水平线之下量的角。地面是第二条水平线，与第一条平行，所以三角形底部的角等于俯角（内错角）。请在底部的三角形里计算，这个角正好落在直角三角形内。
- 画出地面、竖直的物体和观察者。
- 在眼睛的高度画水平线。
- 画视线，指向上方的点（仰角）或下方的点（俯角）。
- 标出所给的角，位于水平线与视线之间。
- 从该角出发标记对边、邻边和斜边。
- 选比值并求解，必要时再加上眼睛的高度。
例题详解
一名学生站在平地上，离塔底 40 m。她的眼睛离地 1.6 m。塔顶的仰角是 28°。
求塔的高度。
**第一步，三角形：**眼睛高度处的水平线长 40 m，是 28° 角的邻边。高出眼睛的部分是对边。
**第二步，比值：**对边和邻边，用正切。tan 28° = h/40。
**第三步，求解：**h = 40 × tan 28° = 40 × 0.5317 = 21.27 m。
**第四步，加上眼睛的高度：**21.27 + 1.6 = 22.87 m，所以塔高 22.9 m（3 位有效数字）。
**检查：**在 40 m 的水平距离上仰角 28°，升高的部分应小于 40 m，因为 tan 28° 小于 1。21.3 m 小于 40 m。塔比眼睛高，也合理。
再看一个俯角的例子。你站在高出海面 45 m 的悬崖边，看到一艘船的俯角是 12°。船离崖脚有多远？
船处的角，即海面与视线之间的角，也是 12°。悬崖是这个角的对边，距离是邻边，所以 tan 12° = 45/d，d = 45 ÷ tan 12° = 45 ÷ 0.2126 = 211.7 m，即 212 m（3 位有效数字）。
要留意的错误
常见的失误是忘记观察者眼睛的高度，或者从铅垂线量角。
**错误做法：**学生把塔高写成 40 × tan 28° = 21.3 m 就停笔。
这个值只是高出眼睛的部分。塔实际高 21.3 + 1.6 = 22.9 m。
纠正的办法是问自己：“我的三角形从哪里开始？”三角形从眼睛开始，不是从地面。在图上写一句备注，如“眼睛以上的 h”和“+ 眼睛高度”，收尾前提醒自己。
自我检测
1. 一根旗杆比眼睛高 21 m。观察者站在水平距离 50 m 处。求仰角，取 1 位小数。
显示答案
对边 21，邻边 50，所以 tan θ = 21/50 = 0.42，θ = tan⁻¹(0.42) = 22.8°。
2. 桥上的一个人看水面上一艘水平距离 60 m 的船，俯角是 18°。此人的眼睛离水面多高？答案取 3 位有效数字。
显示答案
船处的角也是 18°。邻边是 60 m，离水面的高度是对边：60 × tan 18° = 60 × 0.3249 = 19.5 m。
3. 一根 15 m 高的杆子立在平地上。你站在离杆底 40 m 处，本题把眼睛视为在地面高度。杆子上端的仰角是多少？
显示答案
tan θ = 15/40 = 0.375，所以 θ = tan⁻¹(0.375) = 20.6°。
接下来学什么？
下一步是用几何性质检查三角形的解答，找出不可能的答案。混合题在直角三角形三角学练习中。免计算器演算训练器适合在使用计算器之前先把 15/40 这样的精确分数整理好。
应用题总是画不出三角形？线上一对一数学补习的老师会看着你画图，指出是水平线、视线还是眼睛高度出了问题。