Sudut dongakan (angle of elevation) diukur ke atas daripada garis mengufuk pada aras mata pemerhati sehingga garis penglihatan. Untuk menggunakannya, lukis segi tiga bersudut tegak: garis mengufuk ialah satu sisi tegak, ketinggian mencancang ialah sisi tegak yang satu lagi, dan garis penglihatan ialah hipotenus.
Kemahiran ini menghubungkan huraian harian dengan nisbah dalam trigonometri segi tiga bersudut tegak, dan muncul dalam soalan tentang menara, tiang, tebing dan tanjakan.
Bagaimana menukar ayat menjadi segi tiga?
Dongakan dan tunduk sentiasa bermula daripada garis mengufuk. Jadi tugas pertama ialah melukis garis itu, kemudian garis penglihatan, kemudian menyambungkan keduanya dengan garis mencancang.
Bagi sudut tunduk (angle of depression), sudut berada di bawah garis mengufuk pada aras pemerhati. Tanah ialah garis mengufuk kedua yang selari dengan yang pertama, jadi sudut di bahagian bawah segi tiga sama dengan sudut tunduk (sudut berselang-seli).
- Lakar tanah, objek mencancang dan pemerhati.
- Lukis garis mengufuk pada aras mata.
- Lukis garis penglihatan ke titik atas (dongakan) atau titik bawah (tunduk).
- Tandakan sudut yang diberi antara garis mengufuk dengan garis penglihatan.
- Labelkan sisi bertentangan, bersebelahan dan hipotenus daripada sudut itu.
- Pilih nisbah dan selesaikan, kemudian laraskan untuk ketinggian mata jika perlu.
Contoh berlangkah
Seorang pelajar berdiri 40 m dari tapak sebuah menara di atas tanah rata. Matanya 1.6 m dari tanah.
Sudut dongakan puncak menara ialah 28°. Cari tinggi menara.
Langkah 1, segi tiga: garis mengufuk pada aras mata, sepanjang 40 m, bersebelahan dengan sudut 28°. Ketinggian di atas aras mata ialah sisi bertentangan.
Langkah 2, nisbah: bertentangan dan bersebelahan bermakna tangen. tan 28° = h/40.
Langkah 3, selesaikan: h = 40 × tan 28° = 40 × 0.5317 = 21.27 m.
Langkah 4, tambah ketinggian mata: 21.27 + 1.6 = 22.87 m, jadi menara setinggi 22.9 m (3 a.b.).
Semakan: dongakan 28° sepanjang 40 m patut naik kurang daripada 40 m, kerana tan 28° kurang daripada 1. 21.3 m kurang daripada 40 m. Menara lebih tinggi daripada ketinggian mata, seperti yang sepatutnya.
Sekarang satu kes tunduk. Berdiri di tepi tebing 45 m di atas laut, anda melihat sebuah bot pada sudut tunduk 12°. Berapa jauhkah bot itu dari kaki tebing?
Sudut di bot, antara laut dengan garis penglihatan, juga 12°. Tebing bertentangan dengan sudut itu dan jarak bersebelahan, jadi tan 12° = 45/d dan d = 45 ÷ tan 12° = 45 ÷ 0.2126 = 211.7 m, iaitu 212 m (3 a.b.).
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan biasa ialah terlupa ketinggian mata pemerhati, atau mengukur sudut daripada garis mencancang.
Kerja yang salah: pelajar menulis tinggi menara sebagai 40 × tan 28° = 21.3 m dan berhenti.
Nilai itu hanya ketinggian di atas aras mata. Menara itu setinggi 21.3 + 1.6 = 22.9 m.
Pembetulannya ialah bertanya, “Di manakah segi tiga saya bermula?” Segi tiga bermula pada mata, bukan tanah. Tulis nota pendek pada gambar rajah: “h di atas mata” dan ”+ ketinggian mata” sebagai peringatan sebelum selesai.
Semak sendiri
1. Sebatang tiang bendera mencapai 21 m di atas aras mata. Pemerhati berdiri 50 m secara mengufuk. Cari sudut dongakan kepada 1 tempat perpuluhan.
Lihat jawapan
Bertentangan 21, bersebelahan 50, maka tan θ = 21/50 = 0.42 dan θ = tan⁻¹(0.42) = 22.8°.
2. Seseorang di atas jambatan melihat sebuah bot di atas air yang berjarak 60 m secara mengufuk. Sudut tunduk ialah 18°. Berapa tinggikah mata orang itu dari air? Beri jawapan kepada 3 angka bererti.
Lihat jawapan
Sudut di bot juga 18°. Sisi bersebelahan ialah 60 m, dan ketinggian di atas air ialah sisi bertentangan: 60 × tan 18° = 60 × 0.3249 = 19.5 m.
3. Sebatang tiang 15 m berdiri di atas tanah rata. Anda berdiri 40 m dari tapaknya, dengan mata pada aras tanah bagi soalan ini. Berapakah sudut dongakan hujung atas tiang?
Lihat jawapan
tan θ = 15/40 = 0.375, maka θ = tan⁻¹(0.375) = 20.6°.
Ke mana selepas ini?
Seterusnya, semak penyelesaian segi tiga dengan geometrinya untuk menangkap jawapan mustahil. Soalan bercampur terdapat dalam set latihan trigonometri segi tiga bersudut tegak. Pelatih kerja tanpa kalkulator berguna untuk mengemaskan pecahan tepat seperti 15/40 sebelum menggunakan kalkulator.
Gambar rajah ialah tempat ramai pelajar mula tersasar. Dalam tuisyen Matematik dalam talian satu dengan satu, guru memerhati anda melukisnya dan membetulkan langkah pertama itu.