**外推（extrapolation）**是用模型预测建模所用数据范围之外的值。它可能失败，因为模型只描述你观察到的规律，对情境中某个因素改变后会发生什么，它什么也没说。好的答案先给出预测，再说明它是否合理以及原因。
这是International Mathematics 建模的最后一课，建立在比较预测与实测之上。
怎样判断预测是否可靠？
- 找出数据范围，检查输入在范围内（内插）还是范围外（外推）。
- 检查输出是否合理。 负的高度、超过容量的体积、大于 1 的概率，都是失效的信号。
- 问一问规律要继续成立，什么必须保持不变，例如比率恒定。
- 写一个贴合情境的理由，并说明预测离数据有多远。
例题
一支蜡烛点燃时高 20 cm。前 6 小时的读数符合模型 h = 20 − 1.5t，h 是高度（cm），t 是时间（小时）。用模型算 t = 10 和 t = 20 的值，并加以评论。
步骤 1，数据范围： 读数覆盖 0 ≤ t ≤ 6。两个要求的时间都在范围之外，所以都是外推。
步骤 2，t = 10： h = 20 − 1.5 × 10 = 20 − 15 = 5 cm。这个高度合理，但它假定蜡烛以同样的速度继续燃烧。
步骤 3，t = 20： h = 20 − 1.5 × 20 = 20 − 30 = −10 cm。高度不可能是负数，所以这个值不可能成立。
步骤 4，找出界限： 当 1.5t = 20 时 h = 0，所以 t = 20 ÷ 1.5 = 13.33…，约 13.3 小时。模型只适用于 0 ≤ t ≤ 13.3。之后蜡烛已经烧完，高度是 0。
诚实的结论是：模型在 10 小时给出可信的值，在 20 小时给出错误的值，因为它忽略了物理限制。
要留意的错误
常见的失误是不检查就报出模型的输出。
错误的答案： “20 小时后蜡烛高 −10 cm。”
负的高度没有物理意义。
改正的方法是说明模型在约 13.3 小时 h 到达 0 时就不再适用，此后蜡烛的高度是 0。方程还是那条方程，但真实的蜡烛已不再遵循它。
自我检测
先在纸上做，再打开答案。
1. 某植物模型是 h = 12 + 2.5w，由 w = 1 到 8 的读数建立。预测 w = 60 时的高度并评论。
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h = 12 + 2.5 × 60 = 12 + 150 = 162 cm。这是远超 8 周的外推。植物会停止生长，生长速度也会改变，所以匀速生长的假定不大可能成立，这个预测值得怀疑。
2. 预付余额由 B = 40 − 2.5d 建模。算 d = 20 时的值，并写出模型适用的天数范围。
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B = 40 − 2.5 × 20 = 40 − 50 = −10。预付额度不可能是 −RM10。余额在 d = 40 ÷ 2.5 = 16 时降到 0，所以模型适用于 0 ≤ d ≤ 16。
3. 一个出租车模型由 2 km 到 10 km 的行程建立。下面哪些预测属于内插：6 km、15 km、1 km？
显示答案
只有 6 km 在 2 到 10 的范围内，所以是内插。15 km 和 1 km 在范围之外，所以是外推。
接下来学什么
你现在掌握了完整的建模步骤，从定义变量与假设到判断预测。用建模练习题把它们全部测一遍。免计算器解题训练器可以检查你求界限时的算术。
有些学生把外推值算对了就停下来。我们的老师可以在一对一线上数学补习中陪你练习，算完外推值后再补上一句判断。