本模块讲的是如何探究一个数学情境：有条理地尝试各种情形、发现规律、把规律写成规则、检验规则，并解释它为什么成立。它与 International Mathematics（0607）关系最密切，因为该课程包含探究类任务。你考试那一年怎样评分，请看 Cambridge 官网的课程大纲，并向考试中心确认你考的是哪一个科目。
这些技能的用处不止一份试卷。会把情形列成表、用代数写出规则、并说明规则在哪里失效的学生，在数列与规律和各课题的证明类题目中都会更稳。如果你不确定自己读的是 0580 还是 0607，先看路线比较。
开始之前需要具备什么？
需要三样基础。第一，会求简单数列的项，并描述相邻项的差。
第二，能把数代入 3n + 1 这样的式子。第三，会展开和因式分解简单的代数式。
如果其中有任何一项不稳，先复习数列与规律和代数结构。免计算器步骤训练器可以帮你诚实地检查算术。
一个引导例题
四位朋友见面，每个人和其他每个人握手一次。一共握手多少次？
系统地列出：A 与 B、C、D 握手，共 3 次。B 与 C、D 握手，再加 2 次。C 与 D 握手，再加 1 次。
总数 3 + 2 + 1 = 6。五位朋友时，总数是 4 + 3 + 2 + 1 = 10。
规律已经开始显现：每多一个人，新增的握手次数比上一个人新增的多一次。本模块接下来会教你把这个观察变成规则、检验它、证明它，并说明它适用的范围。
各课应该按什么顺序学？
- 系统地列举规律的各种情形：看不出的规律，来自没整理好的情形。
- 从观察到的情形提出猜想：把表格变成可以检验的精确陈述。
- 用反例检验猜想：一个清楚的反例胜过十个吻合的例子。
- 用代数解释一般规则：代数一次涵盖所有情形。
- 说明以规律为基础的结论的适用范围：证据到哪里，结论就到哪里。
之后合上课文，做探究题练习。
探究题常见的陷阱有哪些？
第一个陷阱是只试两三个情形就停下。对 1、2、3 都成立的规律，在 4 仍可能不成立。
第二个陷阱是写出规则后，因为几个数字吻合就当作已证明。核对例子是检验，不是解释。第三个是忘了说明规则适用于哪些值，例如“n ≥ 2”。
第四个陷阱是算得整齐却没有文字。探究题的分数通常奖励写出来的推理，所以要写明你做了什么、为什么这样做。
如何使用练习题
按顺序做题，并写出每一步，就当别人要读你的推理。完成完整尝试后再打开答案。练习最后会把各类错误指回对应的课。
有些学生能看懂例题里的探究，遇到新题却卡住，往往需要老师抛出恰当的下一个问题。这正是我们在线上一对一数学补习中做的事。