IGCSE 数学需要掌握哪些圆定理？

哪些定理会出现，取决于你的路线和考试年份，请查看 Cambridge 最新的课程大纲页面，确认 Core 和 Extended 的内容。本课的事实是常见的起点，但不要假设每一条都会在你的试卷中考到。

圆心角要写什么理由？

写出圆心角是同一段弧所对圆周角的两倍。只写“圆定理”几个字没有说出具体事实，可能拿不到分。

如果两个角的两条边都终止在圆上的同样两个点，通常是一条弦的两端，这两个角就对着同一段弧。从每个角向这两个点描线，就能确认。

圆的角度事实让你从一个线索，例如直径或圆心，求出角度。每条事实都有固定的说法，正确的理由要写出这条事实的名称。 常见的有：圆心角是圆周角的两倍；半圆内的角是 90°；圆内接四边形（cyclic quadrilateral）的对角之和为 180°；切线垂直于切点处的半径。

这是角度与几何推理的第四课。请查看 Cambridge 课程大纲页面，确认哪些属于你的 Core 或 Extended 路线。

O 是圆心。A、B、C 在圆上，C 在优弧上。

∠AOB = 100°。第四个点 D 在劣弧 AB 上。求 ∠ACB 和 ∠ADB，并写出理由。

第一步： ∠ACB 和 ∠AOB 都对着弧 AB。

第二步： 圆心角是圆周角的两倍，所以 ∠ACB = 100° ÷ 2 = 50°。

第三步： ACBD 是圆内接四边形，C 和 D 是相对的顶点。

第四步： 圆内接四边形的对角之和为 180°，所以 ∠ADB = 180° − 50° = 130°。

检验： ∠ADB 在劣弧上，所以是钝角，130° 符合。

常见的失误是该折半的时候却加倍。

错误答案： ∠ACB = 2 × 100° = 200°。

学生记得“两倍”这个词，却用反了。圆心角才是较大的那个。

改正的方法是先问哪个角在圆心。那个角是两倍，所以圆周角是它的一半。快速的合理性检查也有用：200° 超过了一条直线，三角形里的角不可能这么大。

只写“圆定理”的理由也会丢分，所以要写完整的事实。

先试做，再打开答案核对。

1. AB 是圆的直径，C 是圆上一点。∠CAB = 35°。求 ∠ABC，并写出理由。

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∠ACB = 90°，因为半圆内的角为 90°。于是 ∠ABC = 180° − 90° − 35° = 55°，因为三角形内角和为 180°。

2. ABCD 是圆内接四边形，∠ABC = 78°。求 ∠ADC。

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B 和 D 是相对的顶点，圆内接四边形的对角之和为 180°。所以 ∠ADC = 180° − 78° = 102°。

3. TA 是圆心为 O 的圆的切线，切点为 A。∠ATO = 32°。求 ∠AOT。

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切线垂直于 A 处的半径，所以 ∠OAT = 90°。于是 ∠AOT = 180° − 90° − 32° = 58°，用的是三角形 OAT 的内角和。

本模块的最后一课，要求你诚实地分辨图形到底说明了什么：区分图形假设与题目已述事实。无计算器运算训练可以帮你练习折半和相减，综合练习题组把圆的题目和其他题型放在一起。

有些学生能说出每条定理，却很难在拥挤的图形中选出一条。我们的老师会在数学线上一对一补习中练习这个选择。