为什么算面积时要把比例系数平方？

面积是长乘以长，所以两个方向都被缩放。如果地图上 1 cm 是实地 0.5 km，那么 1 cm 乘 1 cm 就是 0.5 km 乘 0.5 km，即 0.25 km²。系数 0.5 出现了两次，所以要平方。一次换算只适用于一条长度。

应该先换算单位，还是先算出面积？

先把每条长度换成实际距离，再相乘。先换长度可以让单位清楚，因为地图上的厘米不会出现在最终答案里。你也可以先求地图上的 cm² 面积，再乘以 1 cm² 对应的实际面积，前提是那个系数已经平方。

用实际长度画一个草图。在 1:25 000 的地图上，4 cm 乘 3 cm 的田地，实际边长是 1 km 和 0.75 km，所以面积必定小于 1 km²。如果你的答案是 3 km²，草图会显示它太大。快速估算能发现大部分比例尺错误。

不一样。1:50 000 表示 1 cm 代表 50 000 cm，即 0.5 km。“1 cm 对 1 km”则是 1:100 000。永远先把比例换成厘米，再换成公里，并留意题目给的是哪一种写法。

把地图面积换成实地面积，要用长度换算系数的平方。如果地图上 1 cm 是实地 0.25 km，那么地图上 1 cm² 就是 0.25 × 0.25 = 0.0625 km²。

忘了平方，是田地、湖泊、树林这类面积比例题答错最常见的原因。

学生量出边长，也换算对了，却用错了面积的规则。或者他们数地图上的方格，再乘以每格代表的距离。无论哪种，都是把长度的换算用在了面积上。

结果是答案偏大或偏小。1 cm 代表的距离小于 1 km 时，只乘一次，答案会偏大。1 cm 代表的距离大于 1 km 时，只乘一次，答案会偏小。

长度只有一个方向，面积有两个方向。当比例尺把一个方向放大 25 000 倍，另一个方向也被放大，所以面积被放大 25 000 × 25 000 倍。

这就是为什么在 1:25 000 的地图上，1 cm² 不是 0.25 km²，而是 0.0625 km²。它也解释了为什么同一张地图上，可以同时出现很大的距离和很小的面积。

这是虚构的原创题目，不来自真实地图。一块田地在比例尺 1:25 000 的地图上量得 4 cm 乘 3 cm。求实际面积，分别用 km² 和公顷表示。

**第 1 步，换算比例。**1 cm 代表 25 000 cm。25 000 cm ÷ 100 = 250 m，250 m ÷ 1000 = 0.25 km。所以 1 cm 是 0.25 km。

**第 2 步，换算每条边。**4 cm × 0.25 = 1 km。3 cm × 0.25 = 0.75 km。

**第 3 步，相乘。**面积 = 1 × 0.75 = 0.75 km²。

**第 4 步，换算单位。**1 km² = 100 公顷，所以 0.75 km² = 75 公顷。

**用另一条路线核对。**地图面积 = 4 × 3 = 12 cm²。1 cm² 的实际面积 = 0.25² = 0.0625 km²。12 × 0.0625 = 0.75 km²。两条路线一致。

**错误的答案：**12 cm² × 0.25 km = 3 km²

学生把距离比例用在面积上，没有平方。

更正的方法，是在每次计算前问自己：“我求的是长度还是面积？”求面积时，先换算每条边，或把系数平方。估算也能发现这个错误：这块田是 1 km 乘 0.75 km，不可能是 3 km²。

你可以在地图比例尺、等高线与坡度练习工具里，用原创的示意地图练习这一点。当题目给出一组量度要你求平均时，可以用统计与分布探索工具。

**1.**在 1:50 000 的地图上，一个湖量得 2 cm 乘 1.5 cm。求实际面积，单位 km²。

查看答案

1 cm = 0.5 km。边长：2 × 0.5 = 1 km 和 1.5 × 0.5 = 0.75 km。面积 = 1 × 0.75 = 0.75 km²。核对：3 cm² × 0.25 = 0.75 km²。

**2.**在 1:10 000 的地图上，1 cm² 代表多少 m² 的实际面积？

查看答案

1 cm = 10 000 cm = 100 m。所以 1 cm² = 100 m × 100 m = 10 000 m²，即 1 公顷。

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