Jujukan linear (linear sequence) naik atau turun dengan jumlah yang sama setiap kali, dan sebutan ke-n (nth term) berbentuk dn + c. Kemahiran ini diperlukan apabila soalan meminta “sebutan ke-n” atau sebutan yang jauh, seperti sebutan ke-40.
Ini pelajaran pertama dalam modul jujukan dan peraturan pola, dan kemahirannya digunakan dalam semua pelajaran lain.
Bagaimana beza tetap menjadi peraturan?
Jika setiap sebutan lebih d daripada sebutan sebelumnya, setiap langkah dari sebutan n ke sebutan n + 1 menambah d. Jadi sebutan ke-n mesti mengandungi d × n. Bahagian ini menunjukkan kadar jujukan itu bertambah.
Pemalar c ialah pembetulan, iaitu jumlah yang perlu ditambah atau ditolak supaya dn menjadi sebutan sebenar.
Cara mencari peraturan, langkah demi langkah
- Tolak setiap sebutan daripada sebutan berikutnya untuk mencari beza sepunya d. Pastikan ia sama setiap kali.
- Tulis dn: gandaan d bermula dari n = 1.
- Bandingkan dn dengan sebutan sebenar. Jurang itu, bersama tandanya, ialah pemalar c.
- Tulis peraturan sebagai dn + c.
- Semak dengan n = 1 dan satu sebutan yang lebih jauh.
Contoh berlangkah
Cari sebutan ke-n bagi 9, 14, 19, 24, … kemudian sebutan ke-10.
Langkah 1, beza: 14 − 9 = 5, 19 − 14 = 5, 24 − 19 = 5. Jadi d = 5.
Langkah 2, gandaan: 5n memberikan 5, 10, 15, 20.
Langkah 3, bandingkan: 9 − 5 = 4, 14 − 10 = 4, 19 − 15 = 4. Setiap sebutan lebih 4 daripada 5n, jadi c = 4.
Langkah 4, peraturan: sebutan ke-n ialah 5n + 4.
Langkah 5, semak: n = 1 memberikan 9 dan n = 4 memberikan 24. Kedua-duanya sepadan.
Sebutan ke-10: 5 × 10 + 4 = 54. Dengan mengira ke hadapan, 9 + 9 × 5 = 54 juga.
Pemalar 4 ialah “sebutan ke-sifar”, nilai yang akan dimiliki jujukan satu langkah sebelum ia bermula: 9 − 5 = 4.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menggunakan sebutan pertama sebagai pemalar.
Jawapan yang salah: sebutan ke-n = 5n + 9
Pelajar melihat jujukan bermula dengan 9 lalu menulis 9 di hujung.
Uji: n = 1 memberikan 5 × 1 + 9 = 14, tetapi sebutan pertama ialah 9. Peraturan itu terlebih satu langkah penuh. Dn sudah mengandungi langkah pertama, jadi pemalar ialah sebutan pertama tolak d: 9 − 5 = 4.
Semak diri anda
Cuba tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari sebutan ke-n bagi 5, 8, 11, 14, …
Lihat jawapan
d = 3, dan 3n memberikan 3, 6, 9, 12. Setiap sebutan sebenar lebih 2, jadi peraturannya 3n + 2.
Semak: n = 1 memberikan 5 dan n = 4 memberikan 14. Kedua-duanya sepadan.
2. Cari sebutan ke-n bagi 20, 17, 14, 11, …
Lihat jawapan
d = −3, dan −3n memberikan −3, −6, −9, −12. Setiap sebutan sebenar lebih 23, jadi peraturannya −3n + 23.
Semak: n = 1 memberikan 20 dan n = 4 memberikan 11. Kedua-duanya sepadan.
3. Jujukan 6, 10, 14, 18, … diteruskan. Cari sebutan ke-100.
Lihat jawapan
d = 4, dan 4n memberikan 4, 8, 12, 16, jadi pemalarnya 2 dan peraturannya 4n + 2. Sebutan ke-100 ialah 4 × 100 + 2 = 402.
Semak dengan mengira ke hadapan: 6 + 99 × 4 = 6 + 396 = 402.
Ke mana selepas ini?
Apabila anda sudah yakin mencari peraturan, pelajari cara menguji peraturan sebutan pada sebutan yang jauh, kemudian cuba set latihan jujukan. Makmal jujukan dan siri menjana sebutan daripada peraturan, jadi anda boleh menyemak peraturan anda sendiri.
Sesetengah pelajar mendapat beza dengan betul tetapi tersilap pemalar apabila masa terhad. Dalam tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu, guru boleh mengesan langkah yang tersilap itu dan melatih anda mengelakkannya.