Sesuatu jujukan mempunyai peraturan kuadratik (quadratic rule) apabila beza keduanya tetap, dan sebutan ke-n kemudiannya berbentuk an² + bn + c. Ia muncul dalam soalan pola yang jurangnya bertambah, seperti bilangan titik dalam gambar rajah yang membesar.
Pelajaran ini sebahagian daripada modul jujukan dan peraturan pola. Anda perlu tahu mencari peraturan sebutan linear dahulu.
Mengapa beza kedua berfungsi?
Dalam jujukan linear, beza pertama tetap. Dalam jujukan kuadratik, beza pertama membentuk jujukan linear sendiri, yang bertambah dengan jumlah tetap setiap langkah. Jumlah tetap itu ialah beza kedua.
Bagi peraturan an², beza keduanya ialah 2a. Jadi pekali n² ialah separuh daripada beza kedua. Apabila anda tahu a, tolak an² daripada sebutan, dan bakinya linear.
Cara mencari peraturan, langkah demi langkah
- Tulis beza pertama, kemudian beza kedua. Pastikan beza kedua tetap.
- Bahagi dua beza kedua untuk mendapatkan a, pekali n².
- Tolak an² daripada setiap sebutan.
- Cari peraturan linear bn + c bagi yang tinggal, menggunakan kaedah daripada pelajaran pertama.
- Tulis an² + bn + c dan semak dengan beberapa nilai n.
Contoh berlangkah
Cari sebutan ke-n bagi 4, 9, 18, 31, 48, …
Langkah 1, beza: beza pertama ialah 5, 9, 13, 17. Beza kedua ialah 4, 4, 4. Ia tetap, jadi peraturannya kuadratik.
Langkah 2, pekali: separuh daripada 4 ialah 2, jadi peraturan bermula dengan 2n².
Langkah 3, tolak: 2n² memberikan 2, 8, 18, 32, 50. Maka 4 − 2 = 2, 9 − 8 = 1, 18 − 18 = 0, 31 − 32 = −1, 48 − 50 = −2. Bakinya ialah 2, 1, 0, −1, −2.
Langkah 4, bahagian linear: baki berkurang 1 setiap kali, jadi peraturannya −n + 3.
Langkah 5, peraturan: 2n² − n + 3.
Semak: n = 1 memberikan 2 − 1 + 3 = 4. n = 3 memberikan 18 − 3 + 3 = 18. n = 5 memberikan 50 − 5 + 3 = 48. Semuanya sepadan.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan biasa ialah mengambil beza kedua sebagai pekali n².
Jawapan yang salah: bagi 3, 8, 15, 24, beza keduanya 2, jadi peraturan bermula dengan 2n²
Pelajar menggunakan seluruh beza kedua.
Uji: 2n² memberikan 2, 8, 18, 32, dan bakinya ialah 1, 0, −3, −8. Ia tidak linear, jadi pekali itu salah.
Membahagi dua memberikan n², yang meninggalkan 2, 4, 6, 8, jadi peraturan yang betul ialah n² + 2n. Langkah “tolak dan cari garis lurus” akan menunjukkan kesilapan ini.
Semak diri anda
Cuba tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari sebutan ke-n bagi 3, 8, 15, 24, … kemudian sebutan ke-10.
Lihat jawapan
Beza pertama: 5, 7, 9. Beza kedua: 2, 2. Jadi a = 1 dan peraturan bermula dengan n². Menolak n² (1, 4, 9, 16) meninggalkan 2, 4, 6, 8, iaitu 2n. Peraturannya n² + 2n.
Sebutan ke-10: 100 + 20 = 120.
2. Cari sebutan ke-n bagi 2, 9, 20, 35, 54, …
Lihat jawapan
Beza pertama: 7, 11, 15, 19. Beza kedua: 4, 4, 4. Jadi a = 2. Menolak 2n² (2, 8, 18, 32, 50) meninggalkan 0, 1, 2, 3, 4, iaitu n − 1. Peraturannya 2n² + n − 1.
Semak: n = 1 memberikan 2 + 1 − 1 = 2. n = 5 memberikan 50 + 5 − 1 = 54.
3. Adakah 1, 2, 4, 8, 16, … mempunyai beza kedua yang tetap?
Lihat jawapan
Beza pertama: 1, 2, 4, 8. Beza kedua: 1, 2, 4. Ia tidak tetap, jadi peraturannya bukan kuadratik. Jujukan ini berganda, jadi ia geometri.
Ke mana selepas ini?
Seterusnya, bezakan n daripada nilai sebutan dalam kedudukan sebutan dan nilai sebutan, kemudian cuba set latihan jujukan. Penjelajah struktur kuadratik menunjukkan kaitan beza kedua dengan sebutan n².
Jika anda faham contoh kuadratik yang telah diselesaikan tetapi buntu pada soalan baharu, guru dalam tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu boleh memerhati langkah anda dan mencari di mana ia tersasar.