用二阶差探究二次公式

当数列的二阶差固定时，它就有二次公式（quadratic rule），第 n 项的形式是 an² + bn + c。你会在间隔越来越大的规律题中遇到它，例如逐渐变大的图形中点的数目。

这一课属于数列与规律公式模块，假设你已经会求线性项公式。

二阶差为什么管用？

在线性数列中，一阶差是固定的。在二次数列中，一阶差自己构成一个线性数列，每一步增加固定的量。这个固定的量就是二阶差。

对公式 an²，二阶差是 2a。所以 n² 的系数是二阶差的一半。知道 a 之后，把各项都减去 an²，剩下的就是线性的。

求公式的步骤

1. 写出一阶差，再写出二阶差。确认二阶差是固定的。
2. 除以 2：把二阶差除以 2，得到 n² 的系数 a。
3. 相减：每一项都减去 an²。
4. 求线性公式：用第一课的方法，求出剩余部分的 bn + c。
5. 写出 an² + bn + c，并用几个 n 的值检验。

例题详解

求 4, 9, 18, 31, 48, … 的第 n 项。

第一步，求差： 一阶差是 5, 9, 13, 17。二阶差是 4, 4, 4。它是固定的，所以公式是二次的。

第二步，系数： 4 的一半是 2，所以公式以 2n² 开头。

第三步，相减： 2n² 给出 2, 8, 18, 32, 50。于是 4 − 2 = 2，9 − 8 = 1，18 − 18 = 0，31 − 32 = −1，48 − 50 = −2。余数是 2, 1, 0, −1, −2。

第四步，线性部分： 余数每次减 1，所以公式是 −n + 3。

第五步，公式： 2n² − n + 3。

检验： n = 1 得 2 − 1 + 3 = 4。n = 3 得 18 − 3 + 3 = 18。n = 5 得 50 − 5 + 3 = 48。全部吻合。

要留意的错误

常见的失误是把二阶差直接当作 n² 的系数。

错误答案： 对 3, 8, 15, 24，二阶差是 2，所以公式以 2n² 开头

学生用了整个二阶差。

检验：2n² 给出 2, 8, 18, 32，余数是 1, 0, −3, −8。它们不是线性的，所以系数有误。

除以 2 得 n²，剩下 2, 4, 6, 8，所以正确公式是 n² + 2n。“相减后看是否成直线”这一步，就是针对这种错误的内置警报。

自我检测

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. 求 3, 8, 15, 24, … 的第 n 项，再求第 10 项。

2. 求 2, 9, 20, 35, 54, … 的第 n 项。

3. 1, 2, 4, 8, 16, … 的二阶差是否固定？

下一步

接下来，在项的位置与项的值中分清 n 的含义与项的值，然后做数列练习题组。二次结构探究器展示二阶差与 n² 项之间的联系。

如果你能看懂已解的二次数列例题，遇到新题却卡住，数学线上一对一补习的老师可以看着你的步骤，找出是哪一步出了偏差。