Titik tengah (midpoint) ialah titik yang betul-betul di tengah antara dua titik, dicari dengan purata koordinat. Panjang tembereng ialah jarak antara kedua-dua titik itu, dicari dengan teorem Pythagoras. Kedua-duanya dikira daripada dua koordinat yang sama, dan soalan peperiksaan boleh meminta kedua-duanya sekali gus.
Apakah dua rumus itu?
Bagi A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂):
- Titik tengah = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Cari purata nilai x, kemudian purata nilai y.
- Panjang AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Cari dua beza, kuasa duakan, tambah, kemudian ambil punca kuasa dua.
Titik tengah memberi sepasang koordinat. Panjang memberi satu nombor. Bentuk jawapan ini membantu anda menyemak sama ada rumus yang digunakan betul.
Bagaimana mengiranya, langkah demi langkah?
- Tulis dua titik dengan kurungan pada setiap nombor negatif.
- Untuk titik tengah, tambah nilai x dan bahagi dua; tambah nilai y dan bahagi dua.
- Untuk panjang, cari beza x dan beza y.
- Kuasa duakan setiap beza (beza negatif memberi kuasa dua positif), kemudian tambah.
- Ambil punca kuasa dua dan ringkaskan surd atau bundarkan seperti yang diminta.
Contoh berlangkah
A ialah (−2, 1) dan B ialah (6, 7). Cari titik tengah AB dan panjang AB.
Titik tengah: x = (−2 + 6)/2 = 4/2 = 2, dan y = (1 + 7)/2 = 8/2 = 4. Titik tengahnya ialah (2, 4).
Beza: beza x = 6 − (−2) = 8. Beza y = 7 − 1 = 6.
Panjang: AB = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.
Semakan bebas: beza 6 dan 8 membentuk segi tiga 3-4-5 yang digandakan dua, jadi hipotenusnya 10. Titik tengah (2, 4) juga berjarak 5 unit daripada A: bezanya daripada A ialah 4 dan 3, dan √(16 + 9) = 5, iaitu separuh daripada 10.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menambah beza dan bukannya menggunakan Pythagoras.
Penyelesaian yang salah: panjang = 8 + 6 = 14.
Pelajar mendapat kedua-dua beza dengan betul tetapi terlupa mengkuasaduakannya, menambah dan mengambil punca kuasa dua.
Lakaran ringkas menunjukkan mengapa 14 salah. Berjalan 8 unit ke sisi kemudian 6 unit ke atas ialah laluan yang lebih panjang daripada garis lurus antara kedua-dua titik. Garis lurus mesti lebih pendek daripada 14, dan jawapan sebenar ialah 10.
Kesilapan kedua ialah terlupa membahagi dua semasa mencari titik tengah, yang memberi (4, 8) dan bukannya (2, 4).
Semak diri anda
Cuba tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari titik tengah dan panjang tembereng yang menyambungkan (1, −3) dan (7, 5).
Lihat jawapan
Titik tengah = ((1 + 7)/2, (−3 + 5)/2) = (4, 1). Beza: 6 dan 8. Panjang = √(36 + 64) = √100 = 10.
2. Cari panjang tembereng yang menyambungkan (−4, 2) dan (1, −10).
Lihat jawapan
Beza x = 1 − (−4) = 5. Beza y = −10 − 2 = −12. Panjang = √(25 + 144) = √169 = 13.
3. M(3, 2) ialah titik tengah AB, dengan A ialah (1, −4). Cari B.
Lihat jawapan
Titik tengah berada di tengah, jadi B sejauh M seperti A, tetapi ke arah bertentangan daripada A. x: 2 × 3 − 1 = 5. y: 2 × 2 − (−4) = 8. Jadi B ialah (5, 8). Semakan: titik tengah (1, −4) dan (5, 8) ialah (3, 2).
Langkah seterusnya
Jika anda sudah mahir mencari titik tengah dan panjang, teruskan dengan menulis persamaan garis lurus. Jika penolakan anda masih tersilap, kembali ke mengira kecerunan daripada dua titik. Set latihan geometri koordinat mengandungi soalan bercampur, dan latihan pengiraan tanpa kalkulator melatih surd dan pecahan tepat.
Ramai pelajar menghafal kedua-dua rumus tetapi tercampur dalam soalan yang lebih panjang. Dalam tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu, guru memerhati anda menyelesaikan soalan dan menunjukkan rumus mana yang patut digunakan.