Kecerunan (gradient) sesuatu garis mengukur betapa curam garis itu naik atau turun: perubahan y dibahagi perubahan x. Kecerunan diperlukan setiap kali soalan memberi dua titik dan bertanya tentang garis yang menyambungkannya. Ia menjadi asas kepada semua pelajaran lain dalam geometri koordinat.
Apakah yang dikatakan oleh rumus kecerunan?
Bagi dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂), kecerunan ialah m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Pengangka ialah jarak anda bergerak ke atas atau ke bawah. Penyebut ialah jarak anda bergerak ke sisi.
Kecerunan positif bermaksud garis naik apabila anda bergerak ke kanan. Kecerunan negatif bermaksud garis turun. Kecerunan 0 ialah garis mengufuk, dan garis mencancang tiada nilai kecerunan.
Bagaimana mengiranya, langkah demi langkah?
- Labelkan titik. Panggil satu titik (x₁, y₁) dan satu lagi (x₂, y₂). Yang mana satu tidak penting.
- Tolak nilai y mengikut susunan itu untuk mendapat kenaikan.
- Tolak nilai x mengikut susunan yang sama untuk mendapat larian.
- Bahagikan kenaikan dengan larian dan ringkaskan pecahan.
- Semak tanda dengan melakar kedua-dua titik: adakah garis naik atau turun apabila anda bergerak ke kanan?
Contoh berlangkah
Cari kecerunan garis yang melalui P(−3, 4) dan Q(5, −8).
Langkah 1, labelkan: (x₁, y₁) = (−3, 4) dan (x₂, y₂) = (5, −8).
Langkah 2, kenaikan: y₂ − y₁ = −8 − 4 = −12.
Langkah 3, larian: x₂ − x₁ = 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.
Langkah 4, bahagi: m = −12/8 = −3/2.
Langkah 5, semak makna: P berada di kiri dan tinggi, Q berada di kanan dan rendah. Garis turun apabila bergerak ke kanan, jadi kecerunan negatif memang betul.
Semakan bebas: tukar label. Kenaikan menjadi 4 − (−8) = 12 dan larian menjadi −3 − 5 = −8, memberi 12/(−8) = −3/2. Jawapan yang sama.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan biasa ialah tersilap mengendalikan tanda tolak pada larian.
Penyelesaian yang salah: larian = 5 − 3 = 2, jadi m = −12/2 = −6.
Pelajar mengabaikan tanda negatif pada nilai x iaitu −3 dan menulis 3.
Menolak nombor negatif bermaksud menambah: 5 − (−3) = 8, bukan 2. Letakkan kurungan pada setiap koordinat negatif sebelum menolak. Lakaran juga membantu, kerana kecerunan −6 akan jauh lebih curam daripada yang ditunjukkan oleh gambar.
Kesilapan kedua ialah mencampurkan susunan, contohnya −8 − 4 pada pengangka tetapi 3 − 5 pada penyebut. Pastikan kedua-dua penolakan mengikut arah yang sama.
Semak diri anda
Cuba tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari kecerunan garis melalui (1, 2) dan (4, 11).
Lihat jawapan
Kenaikan = 11 − 2 = 9. Larian = 4 − 1 = 3. Kecerunan = 9/3 = 3.
2. Cari kecerunan garis melalui (−2, 5) dan (6, 1).
Lihat jawapan
Kenaikan = 1 − 5 = −4. Larian = 6 − (−2) = 8. Kecerunan = −4/8 = −1/2.
3. Apakah yang berlaku apabila anda cuba mencari kecerunan garis melalui (3, −1) dan (3, 7)?
Lihat jawapan
Larian = 3 − 3 = 0, jadi anda perlu membahagi dengan 0. Kecerunan tidak tertakrif: garis itu mencancang, dengan persamaan x = 3.
Langkah seterusnya
Apabila anda sudah mahir mengira kecerunan, teruskan dengan mencari titik tengah dan panjang tembereng, kemudian gunakan kecerunan untuk menulis persamaan garis lurus. Latihan pengiraan tanpa kalkulator melatih pemudahan pecahan, dan set latihan geometri koordinat mencampurkan semua kemahiran.
Sesetengah pelajar faham rumus tetapi masih kehilangan markah pada tanda apabila koordinat negatif. Dalam tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu, guru boleh menyemak penolakan anda baris demi baris dan menunjukkan di mana tanda tersasar.