Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri pada suatu selang, cari satu sudut asas (basic angle) daripada kalkulator, gunakan tanda untuk memilih sukuan (quadrant) tempat jawapan berada, dan tulis setiap sudut dalam selang itu. Kemahiran ini muncul setiap kali soalan berbunyi “selesaikan bagi 0° ≤ x ≤ 360°”.
Kemahiran ini ialah titik mula persamaan trigonometri dan graf. Ia bergantung pada nilai tepat dan bentuk graf yang telah anda pelajari, dan ia menyokong setiap pelajaran seterusnya dalam modul ini.
Bagaimana membina semua penyelesaian daripada satu sudut?
Mulakan dengan mengasingkan fungsi trigonometri, supaya persamaan berbunyi sin x = k, kos x = k atau tan x = k. Kemudian ikuti langkah ini.
- Cari sudut asas. Abaikan tanda k dan hitung fungsi songsang bagi saiznya. Ini memberi sudut tirus, namakan α.
- Tentukan sukuan. Gunakan tanda k. Sin positif dalam sukuan 1 dan 2, kos dalam 1 dan 4, dan tan dalam 1 dan 3.
- Bina sudut. Sukuan 1 memberi α, sukuan 2 memberi 180° − α, sukuan 3 memberi 180° + α dan sukuan 4 memberi 360° − α.
- Simpan hanya yang berada dalam selang. Tambah atau tolak 360° jika perlu, dan berhenti apabila keluar daripada julat.
Bagi sin dan kos, dua jawapan dalam satu kitaran bersimetri. Bagi tan, jaraknya tepat 180°.
Contoh berlangkah
Selesaikan 3 sin x + 1 = 0 bagi 0° ≤ x ≤ 360°.
Langkah 1, asingkan: 3 sin x = −1, jadi sin x = −1/3.
Langkah 2, sudut asas: α = sin⁻¹(1/3) = 19.47° (2 t.p.).
Langkah 3, sukuan: sin x negatif, jadi x berada dalam sukuan 3 atau 4.
Langkah 4, bina: x = 180° + 19.47° = 199.47° dan x = 360° − 19.47° = 340.53°.
Jawapan: x = 199.5° dan 340.5° (1 t.p.).
Semakan: sin 199.47° ≈ −0.3333 dan sin 340.53° ≈ −0.3333. Kedua-duanya berada dalam selang, dan lakaran y = sin x menunjukkan garis y = −1/3 memotong lengkung dua kali antara 0° dan 360°.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menaip sin⁻¹(−1/3) dan berhenti pada jawapan kalkulator.
Jawapan yang salah: x = −19.5°
Sudut ini memang memberi sin −1/3, tetapi ia di luar selang 0° ≤ x ≤ 360°. Penyelesaian satu lagi juga tertinggal.
Pembetulannya ialah menggunakan sudut kalkulator hanya sebagai petunjuk. Ambil α = 19.47°, tentukan sukuan daripada tanda negatif, dan bina dua sudut dalam selang. Anda juga boleh menambah 360° kepada −19.47°, yang memberi 340.53° dan selari dengan keputusan sukuan 4.
Semak diri anda
Beri jawapan kepada 1 tempat perpuluhan kecuali jawapan itu tepat.
1. Selesaikan kos x = 0.3 bagi 0° ≤ x ≤ 360°.
Lihat jawapan
Kos positif, jadi sukuan 1 dan 4. α = kos⁻¹(0.3) = 72.54°. Sudutnya ialah 72.54° dan 360° − 72.54° = 287.46°.
x = 72.5° dan 287.5°
2. Selesaikan tan x = −2 bagi 0° ≤ x ≤ 360°.
Lihat jawapan
Tan negatif, jadi sukuan 2 dan 4. α = tan⁻¹(2) = 63.43°. Sukuan 2: 180° − 63.43° = 116.57°. Sukuan 4: 360° − 63.43° = 296.57°.
x = 116.6° dan 296.6°
3. Selesaikan 2 sin x = √3 bagi 0 ≤ x ≤ 2π, dengan jawapan tepat.
Lihat jawapan
sin x = √3/2, iaitu nilai tepat bagi π/3. Sin positif, jadi sukuan 1 dan 2: x = π/3 dan x = π − π/3 = 2π/3.
x = π/3 dan 2π/3
Langkah seterusnya
Seterusnya, jejaki anjakan fasa dan tempoh untuk melihat bagaimana graf di sebalik persamaan berubah. Apabila sudut dalam fungsi ialah ungkapan selain x, cari semua punca selepas penggantian pemboleh ubah. Papan penaakulan segi tiga dan bearing menyediakan tempat untuk berlatih memilih hubungan sebelum mengira, dan latihan pengiraan tanpa kalkulator memastikan nilai tepat sentiasa sedia.
Jika anda boleh mengikuti kaedah di sini tetapi masih terlepas penyelesaian ketika tertekan dalam peperiksaan, guru kami boleh melihat kerja anda dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.