Sebelum atau selepas menyelesaikan persamaan trigonometri, lakar graf fungsi trigonometri pada selang yang dinyatakan, lukis garis mengufuk bagi sebelah kanan, dan kira persilangan. Bilangan itulah jumlah penyelesaian yang patut anda ada. Ini muncul dalam setiap soalan “cari semua penyelesaian”, dan ia ialah semakan kendiri terpantas dalam topik ini.
Kemahiran ini bekerja bersama rutin sudut asas dan sukuan dan selang yang dilebarkan selepas penggantian. Kedua-duanya boleh menghasilkan senarai, tetapi hanya lakaran yang memberitahu sama ada senarai itu lengkap.
Bagaimana mengira penyelesaian daripada lakaran?
- Cari tempoh fungsi, contohnya 360°/2 = 180° bagi sin 2x, dengan menggunakan apa yang anda pelajari tentang tempoh.
- Kira kitaran dalam selang dengan membahagi panjang selang dengan tempoh.
- Lukis garis bagi sebelah kanan. Nilai tepat di antara −1 dan 1 memotong sin atau kos dua kali setiap kitaran. Tan memotong sebarang nilai sekali setiap kitaran 180°.
- Tulis bilangan jangkaan di sebelah soalan, kemudian bandingkan dengan senarai anda.
Jika bilangan tidak sepadan, ada penyelesaian yang tertinggal atau tertambah. Semak kitaran yang persilangannya belum anda tanda.
Contoh berlangkah
Selesaikan sin 2x = 0.6 bagi 0° ≤ x ≤ 360°.
Langkah 1, lakar dahulu: tempoh sin 2x ialah 180°, jadi terdapat dua kitaran dalam 360°. Garis y = 0.6 memotong setiap kitaran dua kali. Jangka 4 penyelesaian.
Langkah 2, selesaikan untuk u = 2x: selang bagi u ialah 0° ≤ u ≤ 720°. Sudut asas ialah sin⁻¹(0.6) = 36.87°. Dalam kitaran pertama, u = 36.87° dan 180° − 36.87° = 143.13°. Dalam kitaran kedua, u = 36.87° + 360° = 396.87° dan 143.13° + 360° = 503.13°.
Langkah 3, tukar: x = u/2, jadi x = 18.43°, 71.57°, 198.43°, 251.57°.
Jawapan: x = 18.4°, 71.6°, 198.4°, 251.6° (1 t.p.).
Semakan: senarai mempunyai 4 nilai, sepadan dengan lakaran. Penggantian: sin(2 × 71.57°) = sin 143.13° = 0.6.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah berhenti selepas menemui dua jawapan, kerana dua ialah apa yang diberi oleh kaedah asas.
Jawapan yang salah: x = 18.4° dan 71.6°
Pelajar menyelesaikan sin u = 0.6 sekali dan membahagi dengan 2, tetapi tidak bertanya berapa kitaran yang ada. Hanya separuh pertama selang diliputi.
Pembetulannya ialah melukis dua gelombang sebelum mengira. Lakaran menunjukkan dua bonggol, setiap satu dipotong dua kali oleh garis, dan bonggol kedua yang kosong menunjuk kepada penyelesaian yang tertinggal.
Semak diri anda
1. Berapa banyak penyelesaian bagi kos 3x = 0.2 untuk 0° ≤ x ≤ 360°?
Lihat jawapan
Tempohnya 360°/3 = 120°, jadi terdapat 3 kitaran dalam 360°. Nilai 0.2 berada di antara −1 dan 1, jadi setiap kitaran memberi dua persilangan: 3 × 2 = 6.
6 penyelesaian
2. Selesaikan tan 2x = 1 bagi 0° ≤ x ≤ 180°. Berapa penyelesaian yang diramalkan lakaran anda?
Lihat jawapan
Tempoh tan 2x ialah 90°, jadi terdapat 2 kitaran dalam 180°, dan tan mengambil setiap nilai sekali setiap kitaran: 2 penyelesaian. Biar u = 2x, 0° ≤ u ≤ 360°. tan u = 1 pada u = 45° dan 225°, jadi x = 22.5° dan 112.5°.
x = 22.5°, 112.5°
3. Selesaikan sin(x/2) = 0.8 bagi 0° ≤ x ≤ 720°.
Lihat jawapan
Tempohnya 720°, jadi satu kitaran: jangka 2 penyelesaian. Biar u = x/2, 0° ≤ u ≤ 360°. sin⁻¹(0.8) = 53.13°, jadi u = 53.13° dan 126.87°. Kemudian x = 2u.
x = 106.3° dan 253.7°
Langkah seterusnya
Pelajaran yang tinggal, mentafsir perubahan amplitud secara berasingan daripada translasi, menunjukkan apa yang mesti ada dalam lakaran apabila lengkung turut diregang dan diangkat. Kemudian uji semuanya dalam set latihan campuran. Penjelajah struktur kuadratik membantu anda menyemak graf dengan nombor, dan latihan pengiraan tanpa kalkulator mengasah nilai tepat.
Jika anda masih ragu sama ada senarai jawapan lengkap, seorang guru boleh menyemak lakaran anda dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.