**全等图形的形状和大小完全相同。相似图形形状相同，但大小可以不同。**全等就是比例因子为 1 的相似，所以全等是更严格的概念。
这一课把对应边和比例因子结合起来，因为两个概念都要求你把两个图形的各部分对应。
怎样区分？
对相似图形来说，对应角相等，对应边成同一个比。对三角形而言，三个角相等就足够了；三条边的比都相等也足够。
对全等三角形来说，要求更多：大小也必须相同。常用的条件组合有 SSS、SAS、ASA 或 AAS，以及 RHS。每一种都至少包含一条边。
有些图形之间永远相似。任意两个正方形相似，任意两个圆也相似。
例题详解
判断每一对三角形是全等、相似但不全等，还是两者都不是。
(a) 边长 6、8、10 和 9、12、15。
比值：9 ÷ 6 = 1.5，12 ÷ 8 = 1.5，15 ÷ 10 = 1.5。比值相等，所以相似。比例因子不是 1，所以相似但不全等。
(b) 边长 6、8、10 和 8、6、10。
两个三角形出现的是同样三个长度，所以按 SSS 全等。第二个三角形可能是第一个的反射或旋转，仍然全等。全等。
(c) 边长 6、8、10 和 6、8、11。
两对边相等，但 10 和 11 不相等，比值 6/6、8/8 和 11/10 也不同。**两者都不是。**再检查一下：6² + 8² = 100 = 10²，所以第一个三角形有直角，而第二个没有。
要留意的错误
常见的错误是根据两条边和一个不在它们之间的角就断言全等。
错误做法： 三角形 ABC 中，AB = 8 cm，BC = 11 cm，角 A = 40°。三角形 DEF 中，DE = 8 cm，EF = 11 cm，角 D = 40°。“按 SAS 全等。”
角 A 位于 AB 和 AC 之间，而不是 AB 和 BC 之间。所给的角不是夹角，所以 SAS 不适用。
纠正的办法是检查角的位置。SAS 要求角在所给两边之间。两条边加一个非夹角并不构成证明，因为这样三角形的形状并不总是唯一确定。
自我检测
先自己做，再打开每个答案。
1. 两个三角形的角都是 40°、60°、80°。每个都有一条长 7 cm 的边，但图中没有说明它对着哪个角。它们全等吗？
查看答案
它们相似，因为所有角对应相等。只有当两个三角形中的 7 cm 边对着同一个角时才全等。题目给的信息没有说明这一点，所以全等没有得到证明。
2. 长方形 P 是 6 cm × 4 cm，长方形 Q 是 9 cm × 6 cm。它们相似吗？全等吗？
查看答案
9 ÷ 6 = 1.5，6 ÷ 4 = 1.5。比值相同，所以这两个长方形相似。它们大小不同，所以不全等。
3. 长方形 R 是 6 cm × 4 cm，长方形 S 是 9 cm × 5 cm。它们相似吗？
查看答案
9 ÷ 6 = 1.5，但 5 ÷ 4 = 1.25。比值不同，所以这两个长方形不相似，尽管所有的角都是 90°。
下一步
在相似、全等与比例练习集中把本单元的内容综合起来。相等角与几何推理的联系在角与几何推理中展开。无计算器运算训练适合用来快速检查比值。
如果你能说出条件，却在判断某幅图支持哪一条时僵住，数学线上一对一补习的老师可以和你在全新的图上练习这个判断。