对取过近似的正数测量值求积，下界是两个下界相乘，上界是两个上界相乘。用这个方法可以求矩形面积的最小值和最大值，也可以由单价和质量求费用，或由速度和时间求距离。
这一课承接求和与差的界限，是精确度、界限与测量里最常考的运算。
为什么乘积用同类相乘？
只考虑正数。任何一个因数变大，乘积就变大，所以最大的乘积需要两个因数都取最大值。
- a × b 的下界 = aL × bL
- a × b 的上界 = aU × bU
至于商，下面的数要反过来取。要让 a ÷ b 变小，就除以较大的 b。
- a ÷ b 的下界 = aL ÷ bU
- a ÷ b 的上界 = aU ÷ bL
例题详解
一个矩形长 6.4 m、宽 3.2 m，各取 1 位小数。求它面积的界限，并说明面积可以写到多精确。
第一步，范围： 6.35 ≤ 长 < 6.45，3.15 ≤ 宽 < 3.25。
第二步，下界： 6.35 × 3.15 = 20.0025。
第三步，上界： 6.45 × 3.25 = 20.9625。
第四步，范围： 20.0025 ≤ 面积 < 20.9625 m²。
第五步，精确度： 取 2 位有效数字，两个界限分别是 20 和 21，不一致。取 1 位有效数字，两者都是 20。所以面积是 20 m²（1 位有效数字），计算器显示的 20.48 看起来比数据所能支持的精确得多。
要留意的错误
常见的失误是把一个测量值的下界与另一个测量值的上界混在一起用。
错误做法： 下界 = 6.35 × 3.25 = 20.6375。
学生用了最小的长和最大的宽。这个乘积不是最小可能的面积，因为最小的宽会得到 20.0025。
求积时始终保持搭配一致：都用下界，或都用上界。在每一行旁边写上“下 × 下”和“上 × 上”，一眼就能检查。
相乘之前不要先把范围取近似。保留 6.35 和 3.15，而不是 6.3 和 3.2。
自我检测
先试做，再打开答案核对。
1. 一个矩形长 12 cm、宽 5 cm，各取到最接近的厘米。求它面积的界限。
查看答案
范围：11.5 ≤ 长 < 12.5，4.5 ≤ 宽 < 5.5。下界 11.5 × 4.5 = 51.75。上界 12.5 × 5.5 = 68.75。
51.75 ≤ 面积 < 68.75 cm²
2. 苹果每公斤 RM4.8，质量 2.5 kg，各取 1 位小数。求总费用的界限。
查看答案
范围：4.75 ≤ 单价 < 4.85，2.45 ≤ 质量 < 2.55。下界 4.75 × 2.45 = 11.6375。上界 4.85 × 2.55 = 12.3675。
RM11.6375 ≤ 费用 < RM12.3675，约为 RM11.64 到 RM12.37。
3. 一辆车 20 秒（最接近的秒）行驶 150 米（最接近的 10 米）。求它速度的界限，取 3 位有效数字。
查看答案
范围：145 ≤ 距离 < 155，19.5 ≤ 时间 < 20.5。下界 145 ÷ 20.5 = 7.073…，即 7.07。上界 155 ÷ 19.5 = 7.948…，即 7.95。
7.07 ≤ 速度 < 7.95 m/s
下一步
这一组的最后一项技能，是弄清计算器显示的数字能说明什么、不能说明什么：区分精确度与显示的小数位数。界限与取近似解说器会并排显示乘积与商的搭配。
有些学生把规则学得很好，累的时候却把求和的搭配用在乘积上。数学线上一对一补习的老师可以在你的书写过程中发现这种转换，并帮你学会自己察觉。