写出经过某点的直线方程

一条直线由它的斜率和其上的任意一个点确定。方程 y = mx + c 把两者联系起来：m 是斜率，c 是直线与 y 轴相交的位置。这一课把斜率加一个点，或者两个点，变成这样的方程。

怎样建立方程？

先得到斜率 m，可以来自题目，也可以来自两个点。然后用一个已知点 (x₁, y₁) 写出点斜式：

y − y₁ = m(x − x₁)

展开括号并整理，就得到 y = mx + c。点斜式之所以成立，是因为直线上任何一点 (x, y) 到 (x₁, y₁) 的斜率都相同，而这个斜率就是 m。

怎样一步一步算出来？

1. 求出斜率。 如果题目给了两个点，先算出 m。
2. 选其中一个点，用括号写出：(x₁, y₁)。
3. 写出 y − y₁ = m(x − x₁)，符号原样保留。
4. 展开并整理成 y = mx + c。
5. 用另一个点检验最终的方程。

例题详解

求经过 (−1, 7) 和 (3, −1) 的直线方程。

第一步，斜率： m = (−1 − 7)/(3 − (−1)) = −8/4 = −2。

第二步，选点： 用 (−1, 7)，所以 x₁ = −1，y₁ = 7。

第三步，点斜式： y − 7 = −2(x − (−1))，也就是 y − 7 = −2(x + 1)。

第四步，展开： y − 7 = −2x − 2，所以 y = −2x + 5。

第五步，检验另一个点： 当 x = 3 时，y = −2(3) + 5 = −6 + 5 = −1，与 (3, −1) 相符。

第二次验算： 当 x = −1 时，y = 2 + 5 = 7，与第一个点相符。方程是 y = −2x + 5，斜率 −2，y 截距 5。

要留意的错误

常见的失误是点的 x 坐标为负数时，符号出错。

错误做法： y − 7 = −2(x − 1)，得到 y = −2x + 9。

学生写成 x − 1，而不是 x − (−1) = x + 1，丢掉了点的负号。

错误的方程一检验就露馅：当 x = −1 时，它给出 y = 2 + 9 = 11，而不是 7。改正的方法是先带括号写出代入式 y − 7 = −2(x − (−1))，再化简。

第二个失误是忘了把括号里的常数也乘上去，于是 −2(x + 1) 变成了 −2x + 1，而不是 −2x − 2。

自我检测

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. 求斜率为 4、经过 (1, 3) 的直线方程。

2. 求经过 (0, −2) 和 (4, 6) 的直线方程。

3. 求斜率为 1/2、经过 (−2, 1) 的直线方程。

下一步

接下来看看斜率如何帮你判断平行线与垂直线，之后再检查三点是否共线。如果求斜率这一步仍不确定，可以回顾用两点计算斜率。坐标几何练习题组有顺序混合的类似题目。

有些学生看得懂例题的每一行，面对空白的题目却不知从何下笔。数学线上一对一补习的老师会看你写方程的第一步，找出是从哪里开始出错的。