平分一个角，就是用一条直线把它切成两个相等的角。有了圆规和直尺，你不必量度这个角，也能作得很准确。
这一课接在作垂直平分线之后，属于作图与轨迹单元。它也是“找出到两条线距离相等的点”的答案。
为什么这个作法成立？
第一段弧以顶点 B 为圆心，在两条边上标出 P 和 Q，它们到 B 的距离相同。第二组弧以 P 和 Q 为圆心、用相同半径，相交于 R。所以 BP = BQ，RP = RQ，BR 是公共边。
这两个三角形全等，因此 B 处的两个角相等。
一个有用的结论：角平分线上每一点，到两条边的距离都相等。
怎样一步一步作出来？
- 画出角，顶点为 B，两边为 BA 和 BC。
- 针尖放在 B 上，画一段弧与两条边相交，交点标为 P 和 Q。
- 针尖放在 P 上，在角内画一段弧。
- 保持半径不变，针尖放在 Q 上，画弧与前一段弧相交于 R。
- 用直尺连接 B 和 R，需要时延长。直线 BR 就是角平分线。
例题
作角 ABC = 70° 的平分线，然后检查。
**第 1 步，画角：**用量角器画出 BA 和 BC，使角为 70°。
**第 2 步，标出 P 和 Q：**针尖放在 B，半径 4 cm，画弧横过两条边。
**第 3 步，标出 R：**圆规半径取大于 PQ 一半的长度，分别以 P 和 Q 为圆心画弧，相交于 R。
第 4 步，画直线 BR。
**第 5 步，用量度检查：**70° 的一半是 35°，所以角 ABR 和角 RBC 应各为 35°，误差约在 1° 以内。
**第 6 步，用距离检查：**BR 上任何一点到 BA 和 BC 的垂直距离应相等。在靠近末端处试一个点。
要留意的错误
常见的失误是两段第二组圆弧用了不同半径，或画弧时针尖从 P 或 Q 上移开了。
**错误结果：**平分线量得 32° 和 38°，而不是 35° 和 35°。
两段弧之间半径变了，所以 R 更靠近其中一条边。
纠正的办法是画完第一段弧后握稳圆规，用同一个半径重新画两段第二组弧。然后量两个半角，而不是只量一个。
自我检测
先试做每一题，再打开答案。
1. 角 PQR = 50°。平分后，每个角是多少？
显示答案
50° ÷ 2 = 每个 25°。
2. 点 X 在角 ABC 的平分线上，到边 BA 的垂直距离为 6 cm。X 到边 BC 的距离是多少？
显示答案
角平分线上每一点到两条边的距离相等，所以 X 到 BC 的距离是 6 cm。
3. 一个 120° 的角被平分。平分线上有一点到其中一条边的距离是 5 cm。平分线与每条边所成的角是多少？这一点到另一条边的距离是多少？
显示答案
每个半角是 120° ÷ 2 = 60°。这点在平分线上，所以到另一条边的距离也是 5 cm。
接下来学什么
当你把距离规则变成图形时，这两种作图就成了工具，见用距离条件描述轨迹。无计算器运算训练可以帮你处理折半和检查的算术。
有些学生圆弧画得很整齐，却不确定什么时候该用角平分线、什么时候该用垂直平分线。我们的老师会在数学线上一对一补习中一起梳理这个选择。