要求交点，先让每条直线使用自己的参数，令两个位置向量相等，再比较 a 和 b 的系数，解出两个参数。代回去就能验证这个点。
如何一步步求交点？
- 把每条直线写成位置向量加上参数乘方向向量，例如 a + λ(…)。
- 展开，使每个表达式都是 (…)a + (…)b 的形式。
- 令 a 和 b 的系数分别相等，得到两个方程。
- 解出 λ 和 μ，再代回其中一个求得交点。
- 用另一个参数检验。
例题
→OA = a，→OB = b。M 是 OA 的中点，N 在 OB 上，ON = 2/3 b。
直线 AN 与 BM 相交于 X。求 →OX。
直线 AN： →OX = a + λ(2/3 b − a) = (1 − λ)a + (2λ/3)b。
直线 BM： →OM = ½a，所以 →OX = b + μ(½a − b) = (μ/2)a + (1 − μ)b。
令系数相等：
- a： 1 − λ = μ/2
- b： 2λ/3 = 1 − μ
由第一式得 μ = 2 − 2λ。代入第二式：2λ/3 = 1 − 2 + 2λ = −1 + 2λ。所以 −4λ/3 = −1，得 λ = 3/4，μ = 1/2。
答案： →OX = (1 − 3/4)a + (2 × 3/4 ÷ 3)b = ¼a + ½b。
用 μ = 1/2 检验： (1/4)a + (1 − 1/2)b = ¼a + ½b。结果相同，所以 X 正确。
要留意的错误
常见的失误是两条直线共用一个参数。
错误做法： 直线 1 给出 1 − λ = λ/2，所以 λ = 2/3。再由 2λ/3 = 1 − λ 得 λ = 3/5。“矛盾，所以两线不相交。”
学生在两条直线中都用了 λ。
这两条直线其实是相交的，只是在各自路径上的阶段不同。两条直线要用两个字母 λ 和 μ。当答案看起来不可能时，先检查每条线是否有自己的参数。
自我检测
1. 直线 1：r = (1, 0) + λ(1, 2)。直线 2：r = (7, 0) + μ(−1, 1)。求交点。
显示答案
x：1 + λ = 7 − μ。y：2λ = μ。代入：1 + λ = 7 − 2λ，所以 λ = 2，μ = 4。检验直线 2：(7 − 4, 4) = (3, 4)。直线 1：(1 + 2, 4) = (3, 4)。
(3, 4)
2. 证明 r = (2, 1) + s(1, 1) 与 r = (0, 3) + t(1, 1) 不相交。
显示答案
方向相同，所以两线平行。(2, 1) 在第二条线上吗？需要 2 = t 且 1 = 3 + t，即 t = 2 与 t = −2，互相矛盾。
平行且不重合，所以没有交点。
3. →OA = a，→OB = b。P 是 AB 的中点，Q 在 OB 上，OQ : QB = 1 : 2。直线 OP 与 AQ 相交于 X。求 →OX。
显示答案
OP：→OX = λ(½a + ½b)。AQ：→OX = (1 − μ)a + (μ/3)b。
a： λ/2 = 1 − μ。b： λ/2 = μ/3。所以 1 − μ = μ/3，μ = 3/4，λ = 1/2。
→OX = ¼a + ¼b
接下来学什么
剩下的一环是从方程中读出方向：解释向量方程中的方向。然后用练习题检验整个模块。
如果解两个参数的联立方程时常出错，线上一对一附加数学补习的老师可以看你的每一步，找出错在哪里。