如果 AP:PB = m:n，P 的位置向量是什么？

是 →OP = (n**a** + m**b**) ÷ (m + n)。系数看起来像是对调了，但离 A 较近的点必须含有更多的 **a**。快速检查：m 很小时 P 靠近 A，所以 **a** 的系数应该大。

我需要背这个公式吗？

不必背。你随时可以推导：→OP = →OA + (m/(m+n))→AB，只多一行，也不会弄混。请查看你所考年份的 0606 课程大纲，确认考试是否提供公式。

整条线段共有 2 + 3 = 5 等份，AP 占其中 2 份，所以 →AP = →AB 的 2/5。永远先把两个数相加得到分母，再把比例的第一项作为 AP 的分子。

要求分点，先把比例化成整条线段的分数，再写 →OP = →OA + (分数) × →AB。只需两行，不必记公式。

这一课建立在用基向量表示位移之上，也为三点共线做准备。

→OA = a，→OB = b。P 在 AB 上，AP : PB = 2 : 3。求 →OP。

第 1 步： AB 被分成 2 + 3 = 5 份，所以 →AP = 2/5 →AB。

第 2 步： →AB = b − a，所以 →AP = 2/5(b − a)。

第 3 步： →OP = →OA + →AP = a + 2/5(b − a)。

第 4 步： →OP = a − 2/5a + 2/5b = 3/5 a + 2/5 b。

合理性检查： P 离 A 较近，a 的系数 (3/5) 比 b 的系数 (2/5) 大。另外 3/5 + 2/5 = 1，AB 线上的每个点都满足这一点。

常见的失误是按顺序把比例和向量配对。

错误答案： →OP = 2/5 a + 3/5 b

学生因为比例中 2 在前，就把“2”配给 a，把“3”配给 b。

合理性检查能发现它：这个答案让 P 含有更多的 b，P 就会靠近 B。但 AP 是较小的一份，所以 P 应靠近 A。纠正方法是推导 →OP = →OA + →AP，而不是按位置配对数字。

1. →OA = a，→OB = b，P 在 AB 上，AP : PB = 1 : 3。求 →OP。

显示答案

共 4 份，→AP = 1/4(b − a)。→OP = a + 1/4b − 1/4a。

3/4 a + 1/4 b

2. A 是 (1, 2)，B 是 (9, 10)。P 在 AB 上，AP : PB = 3 : 1。求 P 的坐标。

显示答案

→AB = (8, 8)。→AP = 3/4 × (8, 8) = (6, 6)。→OP = (1, 2) + (6, 6)。

P = (7, 8)

3. P 在 AB 上，→OP = 5/8 a + 3/8 b。求 AP : PB。

显示答案

→OP = a + k(b − a) 中 b 的系数等于 k，所以 →AP = 3/8 →AB。AP 占 3 份，PB 占 8 − 3 = 5 份。

AP : PB = 3 : 5

点定好之后，就可以检验三个点是否在同一直线上：用标量关系证明三点共线。回到模块总览可以看到完整的学习路线。

如果比例题总让你把系数放错，线上一对一附加数学补习的老师可以带你从 →OP = →OA + →AP 一步步推导，不用死记。