当直线模型是根据数据拟合出来时，它只在建立它的数值范围内可靠。**内插（interpolation）**是在这个范围内预测。**外推（extrapolation）**是在范围外预测，需要判断情境是否仍然照原样运作。
这节课完成直线与线性化的学习。用到它的题目常会加上一句：「评论你的答案是否有效。」
怎样判断一个预测？
依次问三个问题。
第一，x 的值是否在数据范围内？第二，预测的答案在现实中可能吗，例如长度不能是负数？
第三，真实的过程会不会改变形态，例如水箱会装满、电池会耗尽到零，或费用有固定的上限？
好的评语要指明是哪个量，并说出原因。只写「模型不可靠」得分很少；写「模型预测的水量超过水箱容量」才能得分。
例题详解
一个水箱以稳定的速度注水。1 到 6 分钟的读数显示 V = 12t + 30，其中 V 是水箱中的升数，t 是分钟数。水箱最多容纳 300 升。
第一步，内插： t = 3.5 时，V = 12(3.5) + 30 = 42 + 30 = 72 升。这在 1 到 6 的数据范围内，属于内插，相当可靠。
第二步，外推： t = 30 时，V = 12(30) + 30 = 390 升。这既在数据范围外，又超过 300 的容量，所以模型在此不可能正确。
第三步，找出失效之处： 令 12t + 30 = 300，12t = 270，t = 22.5 分钟。模型最多只在大约这个时间之前可信。
检验： 12(22.5) + 30 = 270 + 30 = 300。
评语： 模型预测 30 分钟时有 390 升，超过水箱容量，所以 22.5 分钟之后模型无效。
要留意的错误
常见的失误是把算出来的数字当成关于现实世界的事实。
错误的做法： 「V = 390，所以水箱容量是 390 升。」
直线会一直延伸，水箱却不会。
更正的方法是：把每个外推的答案与你对情境的了解相比较，并用文字说出来。也要留意负值：t = −5 时模型给出 V = −30，这是不可能的，所以模型不能描述注水开始之前的时间。
自我检测
1. 模型 P = 4.5d + 18 是用 d 在 2 到 8 之间的数据拟合的。对 d = 5、12 和 0，分别判断是内插还是外推，并求 P。
显示答案
d = 5 在 2 到 8 之内：内插，P = 4.5(5) + 18 = 22.5 + 18 = 40.5。
d = 12 大于 8：外推，P = 54 + 18 = 72。
d = 0 小于 2：外推，P = 18。
2. 电池电量用 B = 95 − 7.5t 建模，B 为百分比，t 为小时。模型何时达到零？t = 15 时结果是多少？
显示答案
7.5t = 95 时为零，t = 95 ÷ 7.5 = 12 2/3 小时，约 12.67。
t = 15 时，B = 95 − 112.5 = −17.5。电量不可能低于 0%，所以约 12.67 小时之后模型无效。
3. 直线 y = 3x + 2 拟合了 x 从 1 到 5 的读数。真实的量不能超过 50。模型有效的最大 x 是多少？
显示答案
3x + 2 ≤ 50，3x ≤ 48，x ≤ 16。最大值是 x = 16。 检验：3(16) + 2 = 50。不过这仍然是外推，因为数据只到 5 为止。
接下来学什么
把这个习惯带到综合练习的每道模型题中，其中有一题要求评论有效性。免计算器演算训练器能帮你处理计算，让你的注意力留在判断上。
有些学生算完就停笔，把最后的评语分丢掉。我们的老师在线上一对一附加数学补习中会练习这个简短的书面步骤。