Untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, cari punca persamaan yang berkaitan, kemudian uji kawasan di antara punca untuk melihat di mana ungkapan itu mempunyai tanda yang dikehendaki. Kemahiran ini muncul dalam Matematik Tambahan apabila soalan meminta julat x, contohnya nilai x yang menjadikan suatu kuantiti positif.
Ia salah satu kemahiran teras dalam persamaan dan ketaksamaan algebra, dan berkait terus dengan struktur kuadratik dan diskriminan.
Mengapa punca membahagikan garis nombor?
Ungkapan kuadratik hanya boleh bertukar daripada positif kepada negatif dengan melalui sifar. Jadi punca ialah satu-satunya tempat tanda boleh berubah. Di antara dua punca yang berjiran, tanda kekal sama, dan ia bertukar apabila anda melintasi sesuatu punca.
Maknanya anda tidak perlu menguji setiap nilai. Satu nilai ujian dalam setiap kawasan menunjukkan tanda bagi keseluruhan kawasan itu.
Kaedah, langkah demi langkah
- Pindahkan semua sebutan ke satu sisi supaya ketaksamaan membandingkan kuadratik dengan 0.
- Faktorkan (atau guna rumus) untuk mencari punca.
- Tandakan punca pada garis nombor. Ia menghasilkan tiga kawasan.
- Uji satu nilai daripada setiap kawasan dalam bentuk terfaktor dan catat + atau −.
- Pilih kawasan yang sesuai dengan simbol ketaksamaan. Jangan masukkan punca untuk < atau >. Masukkan punca untuk ≤ atau ≥.
- Tulis penyelesaian dalam x, dengan “atau” untuk dua bahagian yang berasingan.
Contoh berlangkah
Selesaikan 2x² − 5x ≥ 3.
Langkah 1, bandingkan dengan sifar: 2x² − 5x − 3 ≥ 0.
Langkah 2, faktorkan: 2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3). Puncanya x = −1/2 dan x = 3.
Langkah 3, kawasan: x < −1/2, kemudian −1/2 < x < 3, kemudian x > 3.
Langkah 4, nilai ujian:
| Kawasan | x ujian | (2x + 1)(x − 3) | Tanda |
|---|---|---|---|
| x < −1/2 | −1 | (−1)(−4) = 4 | + |
| −1/2 < x < 3 | 0 | (1)(−3) = −3 | − |
| x > 3 | 4 | (9)(1) = 9 | + |
Langkah 5, pilih: kita mahu ungkapan ≥ 0, jadi ambil kawasan positif dan masukkan puncanya.
Jawapan: x ≤ −1/2 atau x ≥ 3.
Semakan: x = 0 berada di antara punca. 2(0) − 0 = 0, yang bukan ≥ 3, jadi 0 memang patut dikecualikan. x = 4 memberi 32 − 20 = 12 ≥ 3, iaitu betul.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan yang kerap berlaku ialah menulis jawapan dua bahagian sebagai satu rantai.
Jawapan yang salah: 3 ≤ x ≤ −1/2
Pelajar menyalin punca mengikut susunan kemunculannya dan menyambungkannya dengan ≤, yang tidak menerangkan sebarang nombor.
Rantai a ≤ x ≤ b hanya berfungsi apabila a lebih kecil daripada b, dan ia bermaksud “di antara”. Apabila jawapannya kawasan luar, tulis dua kenyataan berasingan dengan atau: x ≤ −1/2 atau x ≥ 3. Jadual nilai ujian menjelaskan perbezaannya, kerana kawasan tengah ialah negatif dan mesti ditinggalkan.
Satu lagi kesilapan ialah membahagi kedua-dua belah dengan nombor negatif tanpa membalikkan simbol ketaksamaan. Mengumpul sebutan ke satu sisi, seperti langkah 1, mengelakkan perkara ini sepenuhnya.
Semak diri anda
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. Selesaikan x² − 4x − 5 < 0.
Lihat jawapan
x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1), jadi puncanya −1 dan 5. Ungkapan negatif di antara punca (ujian x = 0 memberi −5).
−1 < x < 5
2. Selesaikan x² + 2x ≥ 15.
Lihat jawapan
Tulis semula sebagai x² + 2x − 15 ≥ 0, yang terfaktor kepada (x + 5)(x − 3) ≥ 0. Puncanya −5 dan 3. Ungkapan positif di luar punca (ujian x = 0 memberi −15, jadi bahagian tengah negatif).
x ≤ −5 atau x ≥ 3
3. Selesaikan (x − 3)² > 0.
Lihat jawapan
Kuasa dua itu sifar hanya pada x = 3 dan positif di tempat lain. Ketaksamaan ketat mengecualikan x = 3 itu sendiri.
Semua x nyata kecuali x = 3 (ditulis x < 3 atau x > 3)
Langkah seterusnya
Apabila selang tanda sudah menjadi rutin, lihat cara menyelesaikan persamaan yang melibatkan nilai mutlak, yang juga membahagikan garis nombor kepada kes. Penjelajah struktur kuadratik melukis lengkung supaya anda nampak kawasan yang berada di atas paksi-x, dan latihan pengiraan tanpa kalkulator membantu aritmetik pecahan tepat dalam langkah ujian. Apabila bersedia, cuba set latihan campuran.
Jika anda boleh mencari punca tetapi tersilap menulis jawapan akhir, guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh menyemak tanda dan simbol anda baris demi baris.