Menguasaduakan kedua-dua belah ialah cara berguna untuk membuang punca kuasa dua, tetapi ia boleh memperkenalkan jawapan yang bukan milik persamaan asal. Penyelesaiannya mudah: gantikan setiap calon ke dalam persamaan asal dan tolak yang gagal.
Kemahiran ini sebahagian daripada persamaan dan ketaksamaan algebra. Ia membina tabiat “uji jawapan” yang sama seperti dalam menyelesaikan persamaan yang melibatkan nilai mutlak.
Dari mana datangnya jawapan palsu?
Simbol punca kuasa dua √ bermaksud punca tidak negatif sahaja. Jadi √(x + 6) tidak pernah negatif, dan persamaan √(x + 6) = x hanya boleh benar apabila x sendiri sifar atau positif.
Menguasaduakan memberi x + 6 = x², dan persamaan baharu ini juga dipenuhi oleh sebarang x yang menjadikan √(x + 6) sama dengan −x. Nilai itu memenuhi persamaan yang dikuasaduakan tetapi bukan persamaan asal.
Kaedah, langkah demi langkah
- Asingkan surd pada satu sisi.
- Kuasa duakan kedua-dua belah, dengan mengembangkan sebarang kurungan secara teliti.
- Susun semula menjadi kuadratik dan selesaikannya.
- Gantikan setiap punca ke dalam persamaan asal.
- Tolak mana-mana punca yang menjadikan kedua-dua sisi tidak sama, dan nyatakan jawapan akhir anda.
Contoh berlangkah
Selesaikan √(x + 6) = x.
Langkah 1, surd sudah terasing.
Langkah 2, kuasa duakan kedua-dua belah: x + 6 = x².
Langkah 3, susun semula dan selesaikan: x² − x − 6 = 0, jadi (x − 3)(x + 2) = 0. Calonnya x = 3 dan x = −2.
Langkah 4, semak x = 3: √(3 + 6) = √9 = 3. Sisi kanan ialah 3. Ia berfungsi.
Langkah 4, semak x = −2: √(−2 + 6) = √4 = 2. Sisi kanan ialah −2. Oleh sebab 2 ≠ −2, ia gagal.
Jawapan: x = 3 sahaja. Punca x = −2 ialah punca luaran.
Semakan penaakulan pantas: sisi kanan x mesti tidak negatif kerana ia sama dengan punca kuasa dua. Itu sahaja sudah menolak −2 sebelum sebarang penggantian.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah berhenti pada kuadratik dan melaporkan kedua-dua penyelesaian.
Jawapan yang salah: x = 3 atau x = −2
Pelajar menyelesaikan kuadratik dengan betul tetapi tidak kembali kepada persamaan asal.
Pembetulannya ialah menganggap semakan penggantian sebagai langkah akhir kaedah, bukan tambahan pilihan. Kesilapan kedua ialah sebaliknya: menolak punca tanpa mengujinya. Jika anda menolak, tunjukkan nilai yang gagal, seperti √4 = 2 tetapi sisi kanan ialah −2.
Semak diri anda
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. Selesaikan √(3x + 4) = x.
Lihat jawapan
Kuasa dua: 3x + 4 = x², jadi x² − 3x − 4 = 0, yang memberi (x − 4)(x + 1) = 0. Calon: 4 dan −1.
Semak 4: √16 = 4, sepadan. Semak −1: √1 = 1, tetapi sisi kanan ialah −1, jadi ia gagal.
x = 4
2. Selesaikan √(5x − 1) = x + 1.
Lihat jawapan
Kuasa dua: 5x − 1 = x² + 2x + 1, jadi x² − 3x + 2 = 0, yang memberi (x − 1)(x − 2) = 0.
Semak 1: √4 = 2 dan 1 + 1 = 2, sepadan. Semak 2: √9 = 3 dan 2 + 1 = 3, sepadan.
x = 1 atau x = 2 (kedua-duanya sah)
3. Selesaikan √(x + 7) − 1 = x.
Lihat jawapan
Asingkan surd: √(x + 7) = x + 1. Kuasa dua: x + 7 = x² + 2x + 1, jadi x² + x − 6 = 0, yang memberi (x + 3)(x − 2) = 0.
Semak 2: √9 − 1 = 2, sepadan. Semak −3: √4 − 1 = 1, tetapi sisi kanan ialah −3, jadi ia gagal.
x = 2
Langkah seterusnya
Idea yang sama tentang menghadkan apa yang dibenarkan sebagai jawapan diteruskan dalam menyatakan sekatan sebelum memanipulasi pecahan. Cuba set latihan campuran apabila bersedia, dan gunakan latihan pengiraan tanpa kalkulator untuk penggantian tepat yang kemas.
Jika anda menyelesaikan kuadratik dengan betul tetapi terlupa menyemak punca, guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh membantu anda menjadikan semakan itu tabiat.