如果你第一个答案对了，却仍然丢分，问题通常是数区间，而不是解方程。计算器只给一个角度，而题目的区间里可能有两个、四个甚至更多，每一个都需要找出来。
本页介绍一种保留所有有效解的方法，并解释两种会让解消失的习惯。它配合三角方程与图像使用。
为什么会漏解？
常见的原因有三个：
- 停在主值。 计算器的答案只是其中一个解。
- 忘了换区间，当角度是 2x、3x 或 x + 30° 时。
- 除以一个可能为零的三角项，把解除掉了。
保留所有解的方法
- 写出整个角度的区间。 如果题目说 0° ≤ x ≤ 360°，方程里有 2x，那么 2x 的区间是 0° ≤ 2x ≤ 720°。
- 用反函数求主值。
- 用图像草图或象限图找出相关的角。
- 在角度仍落在区间内时，加上整圈。
- 换算回来：除以 2，或减去 30°，得到 x。
- 检验：把每个答案代回原方程。
例题详解
解 sin 2x = 0.5，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
第 1 步，2x 的区间。 把区间乘以 2：0° ≤ 2x ≤ 720°。
第 2 步，主值。 sin⁻¹(0.5) = 30°。
第 3 步，相关的角。 正弦在第二象限也为正：180° − 30° = 150°。
第 4 步，加上整圈。 30° + 360° = 390°，150° + 360° = 510°，两者都小于 720°。再加一圈会得到 750° 和 870°，已经超出。所以 2x = 30°、150°、390°、510°。
第 5 步，除以 2。 x = 15°、75°、195°、255°。
第 6 步，检验。 sin 30° = 0.5。sin 150° = 0.5。sin 390° = sin 30° = 0.5。sin 510° = sin 150° = 0.5。四个都吻合，所以 x = 15°、75°、195°、255°。
停在第 2 步的学生只写 x = 15°，跳过第 1 步的学生只找到 15° 和 75°。同一个方程，两者都丢掉一半的分数。
除以 sin 的陷阱
第二种丢解的方式：解 2 sin²x = sin x，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
**错误的做法：**两边除以 sin x，得 2 sin x = 1，所以 sin x = 1/2，x = 30°、150°。
这样会丢掉 x = 0°、180° 和 360°，因为这些角的 sin x = 0。
改正的办法是把所有项移到一边再因式分解：2 sin²x − sin x = 0，所以 sin x (2 sin x − 1) = 0。于是 sin x = 0，得 x = 0°、180°、360°；或者 sin x = 1/2，得 x = 30°、150°。一共有五个解：0°、30°、150°、180°、360°。
自我检测
1. 解 cos 3x = 0.5，其中 0° ≤ x ≤ 180°。
显示答案
3x 的区间是 0° ≤ 3x ≤ 540°。cos⁻¹(0.5) = 60°。一圈内的另一个角是 360° − 60° = 300°。60° 加 360° 得 420°，在区间内。300° 加 360° 得 660°，太大。
所以 3x = 60°、300°、420°，x = 20°、100°、140°。检验：cos 60° = cos 300° = cos 420° = 0.5。
2. 解 sin(x + 30°) = −0.5，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
显示答案
x + 30° 的区间是 30° ≤ x + 30° ≤ 390°。一圈内正弦为 −0.5 的角是 210° 和 330°。两者都在区间内，再加 360° 会超过 390°。
所以 x + 30° = 210° 或 330°，x = 180° 或 300°。检验：sin 210° = −0.5，sin 330° = −0.5。
3. 解 tan x = 1，其中 0° ≤ x ≤ 360°。用一句话解释为什么有两个答案。
显示答案
tan⁻¹(1) = 45°，正切每 180° 重复一次，所以下一个解是 225°。答案是 x = 45° 和 x = 225°。第二个在第三象限，那里正切再次为正。
接下来可以做什么？
用三角形与方位角推理板，它要求先写出关系再计算，并显示角度单位，帮你养成先写区间的习惯。不用计算器的书写训练器支持 sin 30° = 1/2 这类精确值。
然后用原创练习中心检验自己。如果你明明懂方法，却总是少找一个答案，一对一线上 Additional Mathematics 补习可以让老师看出遗漏的解是在哪一步溜走的。