Untuk menyongsangkan fungsi, batalkan operasinya dalam tertib bertentangan. Sesuatu pemetaan boleh disongsangkan dengan bersih hanya jika setiap output datang daripada tepat satu input, dan itulah maksud “satu dengan satu”.
Pelajaran ini menyusul mengesan input melalui fungsi gubahan dan tergolong dalam fungsi dan pemetaan. Ia juga muncul, dalam bentuk lain, setiap kali anda bekerja ke belakang daripada nilai akhir kepada nilai asal.
Apakah maksud “songsang”?
Ambil pemetaan x → 3x + 1 pada input 1, 2 dan 3.
| Input x | Output f(x) |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 7 |
| 3 | 10 |
Apabila disongsangkan, 4 kembali kepada 1, 7 kepada 2 dan 10 kepada 3. Pemetaan songsang membaca jadual dari kanan ke kiri. Oleh sebab tiada dua input berkongsi satu output, tiada apa yang hilang apabila disongsangkan.
Cara mencari songsang, langkah demi langkah
- Tulis y = peraturan. Contohnya y = 3x − 5.
- Jadikan x perkara rumus. Batalkan operasi terakhir dahulu: tambah 5, kemudian bahagi 3.
- Namakan semula: gantikan y dengan x dalam hasil dan tulis sebagai f⁻¹(x).
- Semak dengan nombor: kenakan f, kemudian f⁻¹, dan pastikan anda kembali ke permulaan.
Contoh berlangkah
Cari songsang bagi f(x) = 3x − 5.
Langkah 1: y = 3x − 5.
Langkah 2: y + 5 = 3x, maka x = (y + 5)/3.
Langkah 3: f⁻¹(x) = (x + 5)/3.
Semakan: f(4) = 12 − 5 = 7. Kemudian f⁻¹(7) = (7 + 5)/3 = 12/3 = 4. Kita kembali kepada 4, jadi ia betul.
Idea yang sama muncul dalam peratusan.
Harga selepas kenaikan 20% ialah 1.2 kali harga asal, iaitu x → 1.2x. Jika harga baharu ialah RM96, harga asal dicari dengan songsang, iaitu membahagi dengan 1.2: 96 ÷ 1.2 = RM80.
Semak: 80 × 1.2 = 96. Penjelajah asas peratusan menunjukkan mengapa anda membahagi dan bukan menolak 20%.
Kesilapan yang perlu diawasi
Dua kesilapan lazim. Pertama, mengambil salingan. Kedua, membatalkan operasi dalam tertib yang salah.
Kerja yang salah: f(x) = 3x − 5, maka f⁻¹(x) = x/3 + 5
Pelajar membatalkan operasi dalam tertib yang sama seperti ia dikenakan, membahagi 3 sebelum menambah 5.
Uji: f⁻¹(7) akan memberi 7/3 + 5, yang bukan 4. Pendekatan yang betul ialah membatalkan operasi terakhir dahulu. f melakukan ”× 3, kemudian − 5”, jadi songsangnya melakukan ”+ 5, kemudian ÷ 3”. Satu nombor ujian mendedahkan kesilapan dalam beberapa saat.
Semak diri anda
Cuba di atas kertas dahulu, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari songsang bagi f(x) = 2x + 7, kemudian nilaikan f⁻¹(11).
Lihat jawapan
y = 2x + 7, maka x = (y − 7)/2. Oleh itu f⁻¹(x) = (x − 7)/2. f⁻¹(11) = 4/2 = 2. Semak: f(2) = 11.
2. Cari songsang bagi f(x) = x/4 − 3.
Lihat jawapan
y = x/4 − 3, maka y + 3 = x/4, dan x = 4(y + 3). Oleh itu f⁻¹(x) = 4(x + 3), iaitu 4x + 12. Semak: f(8) = 2 − 3 = −1, dan f⁻¹(−1) = 4(2) = 8.
3. Cari f⁻¹(−3) apabila f(x) = 5 − 2x.
Lihat jawapan
y = 5 − 2x, maka 2x = 5 − y dan x = (5 − y)/2. Jadi f⁻¹(x) = (5 − x)/2, dan f⁻¹(−3) = 8/2 = 4. Semak: f(4) = 5 − 8 = −3.
Langkah seterusnya
Tidak semua peraturan boleh disongsangkan pada semua nombor, jadi seterusnya lihat menghadkan input supaya ungkapan tertakrif. Penjelajah gubahan dan songsang fungsi dan latihan pengiraan tanpa kalkulator berguna untuk menguji songsang anda dengan nombor.
Jika membatalkan operasi dalam tertib yang betul masih terasa tidak pasti, guru kami boleh menyelesaikannya bersama anda dalam tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu.