Soalan ini melatih kemahiran dalam teknik pembezaan: kuasa, hasil darab, petua rantai, bentuk ln dan ex, dan menyemak keputusan. Ia bergerak daripada mudah kepada lebih sukar, dan setiap jawapan diselesaikan sepenuhnya. Semak fungsi yang dalam skop pada laman sukatan pelajaran 0606 semasa.
Cara menggunakan set ini: tulis petua yang anda rancang pada baris pertama, selesaikan soalan di atas kertas, kemudian buka jawapan. Tandakan kaedah, bukan hanya ungkapan akhir. Gunakan log kesilapan dan baris gilir uji semula untuk mencatat soalan yang terlepas, dan cuba semula selepas sehari.
Soalan
1. Bezakan y = 5x⁴ − 3x² + 7.
Tunjukkan jawapan
Setiap sebutan: 5x⁴ menjadi 20x³, −3x² menjadi −6x, dan pemalar 7 menjadi 0.
dy/dx = 20x³ − 6x
2. Bezakan y = 6√x − 4/x.
Tunjukkan jawapan
Tulis semula: y = 6x1/2 − 4x−1.
6x1/2 menjadi 3x−1/2. Kemudian −4x−1 menjadi +4x−2.
dy/dx = 3/√x + 4/x²
3. Bezakan y = (x + 4)(2x − 3), dengan petua hasil darab dan dengan mengembang.
Tunjukkan jawapan
Petua hasil darab: u′ = 1 dan v′ = 2, jadi dy/dx = (2x − 3) + 2(x + 4) = 4x + 5.
Mengembang: y = 2x² + 5x − 12, jadi dy/dx = 4x + 5. ✓
dy/dx = 4x + 5
4. Bezakan y = (3x − 1)⁵, dan cari kecerunan pada x = 1.
Tunjukkan jawapan
dy/dx = 5(3x − 1)⁴ × 3 = 15(3x − 1)⁴.
Pada x = 1: 15 × 2⁴ = 15 × 16 = 240.
5. Cari kecerunan bagi y = x³ + 2√x − 1/x pada x = 4, dalam bentuk pecahan tepat.
Tunjukkan jawapan
Tulis semula: y = x³ + 2x1/2 − x−1. Maka dy/dx = 3x² + x−1/2 + x−2.
Pada x = 4: 3 × 16 = 48, kemudian 1/√4 = 1/2, kemudian 1/16.
48 + 1/2 + 1/16 = 48 + 8/16 + 1/16 = 48 9/16 = 777/16.
6. Bezakan y = √(x² + 9) dan cari kecerunan pada x = 4.
Tunjukkan jawapan
y = (x² + 9)1/2, jadi dy/dx = ½(x² + 9)−1/2 × 2x = x/√(x² + 9).
Pada x = 4: x² + 9 = 25, √25 = 5, jadi kecerunannya ialah 4/5.
7. Bezakan y = x²(x − 2)³ dan faktorkan jawapan anda. Cari kecerunan pada x = 3.
Tunjukkan jawapan
Biar u = x² dan v = (x − 2)³. Maka u′ = 2x dan v′ = 3(x − 2)².
dy/dx = 2x(x − 2)³ + 3x²(x − 2)² = x(x − 2)²[2(x − 2) + 3x] = x(x − 2)²(5x − 4).
Pada x = 3: 3 × 1 × 11 = 33. Semakan terus: 6 × 1 + 27 × 1 = 33. ✓
8. Bezakan y = e4x − 1 dan cari kecerunan pada x = ¼.
Tunjukkan jawapan
Bahagian dalam ialah 4x − 1 dengan terbitan 4, jadi dy/dx = 4e4x − 1.
Pada x = ¼: 4x − 1 = 0, dan e⁰ = 1, jadi kecerunannya ialah 4.
9. Bezakan y = ln(5x² + 1) dan cari kecerunan pada x = 1.
Tunjukkan jawapan
Bahagian dalam mempunyai terbitan 10x, jadi dy/dx = 10x/(5x² + 1).
Pada x = 1: 10/6 = 5/3.
10. Bezakan y = x ln x dan cari kecerunan pada x = e.
Tunjukkan jawapan
Biar u = x dan v = ln x, jadi u′ = 1 dan v′ = 1/x.
dy/dx = ln x + x × (1/x) = ln x + 1.
Pada x = e: ln e = 1, jadi kecerunannya ialah 2.
11. Bezakan y = xe−2x. Cari nilai x apabila kecerunan ialah sifar.
Tunjukkan jawapan
Biar u = x dan v = e−2x, jadi u′ = 1 dan v′ = −2e−2x.
dy/dx = e−2x − 2xe−2x = (1 − 2x)e−2x.
Faktor e−2x tidak pernah sifar, jadi tetapkan 1 − 2x = 0, memberikan x = ½.
12. Seorang pelajar berkata kecerunan y = (x² + 1)³ pada x = 1 ialah 12, menggunakan dy/dx = 3(x² + 1)². Semak dengan nilai f(1.01) ≈ 8.24363 dan f(0.99) ≈ 7.76357. Adakah pelajar itu betul?
Tunjukkan jawapan
Anggaran: (8.24363 − 7.76357) / 0.02 = 0.48006 / 0.02 ≈ 24.0.
Pelajar itu salah, kerana 12 tidak sepadan dengan 24. Terbitan dalaman 2x tertinggal: dy/dx = 3(x² + 1)² × 2x = 6x(x² + 1)².
Pada x = 1: 6 × 4 = 24, yang sepadan dengan anggaran.
Jika anda tersalah
| Apa yang tidak kena | Soalan | Kembali ke |
|---|---|---|
| Petua kuasa, pemalar atau aritmetik indeks | 1, 2, 5 | Membezakan polinomial dengan kuasa pecahan |
| Mendarab u′ dan v′, atau mengelirukan struktur hasil darab | 3, 7, 10, 11 | Membezakan hasil darab |
| Terlepas terbitan dalaman | 4, 6, 7, 8, 9 | Menggunakan petua rantai pada ungkapan gubahan |
| Menulis terbitan ln atau ex dengan salah | 8, 9, 10, 11 | Membezakan bentuk logaritma dan eksponen |
| Tidak dapat memastikan sama ada jawapan betul | 12 | Menyemak terbitan dengan kecerunan setempat |
Penjelajah bentuk dan kadar kalkulus dan pelatih kerja tanpa kalkulator kedua-duanya menyokong set ini.
Jika satu kesilapan berulang dalam beberapa soalan, puncanya biasanya satu tabiat pada baris pertama anda. Guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh memerhati kerja anda dan membetulkan tabiat itu dengan cepat.