Untuk fungsi gubahan (composite function), seperti kurungan berkuasa, gunakan petua rantai (chain rule): dy/dx = dy/du × du/dx. Dengan kata lain: bezakan bahagian luar, kekalkan bahagian dalam, kemudian darabkan dengan terbitan bahagian dalam.
Pelajaran ini bersambung daripada membezakan kuasa dan hasil darab. Penjelajah struktur kuadratik berguna apabila bahagian dalam kurungan ialah kuadratik.
Bagaimanakah petua rantai berfungsi, langkah demi langkah?
- Kenal pasti bahagian dalam. Biar u = ungkapan dalam kurungan atau di bawah tanda punca.
- Tulis y dalam sebutan u, contohnya y = u⁴.
- Bezakan setiap bahagian: dy/du dan du/dx.
- Darabkan keduanya, kemudian gantikan u dengan ungkapan asal.
Dengan latihan, langkah 2 hingga 4 menjadi satu baris: “kuasa turun, kurungan kekal, kurangkan kuasa satu, darab dengan terbitan kurungan”.
Contoh berlangkah
Bezakan (a) y = (3x² − 5)⁴ dan (b) y = √(2x + 7), dan cari kecerunan (b) pada x = 1.
(a) Biar u = 3x² − 5, jadi y = u⁴. Maka dy/du = 4u³ dan du/dx = 6x.
dy/dx = 4u³ × 6x = 24x(3x² − 5)³.
(b) Tulis semula sebagai y = (2x + 7)1/2. Biar u = 2x + 7, jadi y = u1/2.
Maka dy/du = ½u−1/2 dan du/dx = 2.
dy/dx = ½(2x + 7)−1/2 × 2 = (2x + 7)−1/2 = 1/√(2x + 7).
Pada x = 1: 2x + 7 = 9, √9 = 3, jadi kecerunannya ialah 1/3.
Kesilapan yang perlu diawasi
Petua kuasa begitu biasa sehingga ramai pelajar menggunakannya pada kurungan lalu berhenti.
Penyelesaian yang salah: y = (3x² − 5)⁴ → dy/dx = 4(3x² − 5)³
Pelajar hanya membezakan bahagian luar.
Faktor yang tertinggal ialah 6x, terbitan bahagian dalam. Ujian pantas: kurungan asal mengandungi x², jadi terbitannya mesti mengandungi x juga. Jawapan yang betul ialah 24x(3x² − 5)³.
Untuk bahagian dalam linear, seperti 2x + 7, faktor yang tertinggal hanyalah satu nombor. Ia tetap tertinggal, dan jawapan tetap salah tanpanya.
Semak sendiri
1. Bezakan y = (5x − 2)³ dan cari kecerunan pada x = 1.
Tunjukkan jawapan
dy/dx = 3(5x − 2)² × 5 = 15(5x − 2)².
Pada x = 1: 15 × 3² = 15 × 9 = 135.
2. Bezakan y = 1/(x² + 1)² dan cari kecerunan pada x = 1.
Tunjukkan jawapan
Tulis semula: y = (x² + 1)−2. Maka dy/dx = −2(x² + 1)−3 × 2x = −4x/(x² + 1)³.
Pada x = 1: −4/2³ = −4/8 = −1/2.
3. Bezakan y = x(2x − 1)³, faktorkan jawapan anda, dan cari kecerunan pada x = 1.
Tunjukkan jawapan
Soalan ini memerlukan petua hasil darab dan petua rantai. Biar u = x dan v = (2x − 1)³, jadi u′ = 1 dan v′ = 3(2x − 1)² × 2 = 6(2x − 1)².
dy/dx = (2x − 1)³ + 6x(2x − 1)² = (2x − 1)²[(2x − 1) + 6x] = (2x − 1)²(8x − 1).
Pada x = 1: 1² × 7 = 7.
Ke mana selepas ini?
Pelajaran seterusnya menambah bentuk ln dan eksponen, yang hampir setiap soalannya menggunakan petua rantai. Selepas itu, menyemak terbitan dengan kecerunan setempat memberi anda cara menguji jawapan seperti soalan 3. Pelatih kerja tanpa kalkulator membantu pengiraan.
Soalan jenis ini menggabungkan dua atau tiga petua. Guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh melihat baris pertama anda dan mengetahui petua mana yang anda pilih serta sebabnya.