Apabila dua fungsi x didarab, bezakan dengan petua hasil darab (product rule): jika y = uv, maka dy/dx = u′v + uv′. Anda membezakan satu faktor pada satu masa dan menambah hasilnya. Dalam sesetengah soalan, mengembangkan kurungan dahulu lebih pantas dan memberikan jawapan yang sama.
Pelajaran ini bersambung daripada membezakan kuasa dan membawa kepada petua rantai, yang diperlukan apabila satu faktor ialah kurungan berkuasa.
Bagaimanakah petua hasil darab berfungsi, langkah demi langkah?
- Namakan faktor: tulis u = … dan v = ….
- Bezakan kedua-duanya secara berasingan: tulis u′ dan v′ di sebelahnya.
- Gantikan ke dalam u′v + uv′. Kekalkan kurungan pada setiap bahagian.
- Permudahkan, contohnya dengan memfaktorkan kurungan sepunya.
Menulis u, v, u′ dan v′ dalam satu blok kecil menjelaskan struktur dan mengelakkan anda tertukar faktor.
Contoh berlangkah
Bezakan y = (2x + 1)(x² − 3x).
Kaedah A, petua hasil darab. Biar u = 2x + 1 dan v = x² − 3x. Maka u′ = 2 dan v′ = 2x − 3.
dy/dx = u′v + uv′ = 2(x² − 3x) + (2x + 1)(2x − 3).
Bahagian pertama ialah 2x² − 6x. Bahagian kedua ialah 4x² − 6x + 2x − 3 = 4x² − 4x − 3.
Hasil tambah ialah dy/dx = 6x² − 10x − 3.
Kaedah B, kembangkan dahulu. y = 2x³ − 6x² + x² − 3x = 2x³ − 5x² − 3x.
Maka dy/dx = 6x² − 10x − 3. Kedua-dua kaedah sepakat, jadi jawapan disahkan.
Untuk kurungan polinomial yang mudah, Kaedah B lebih ringkas. Petua hasil darab berguna apabila pengembangan sukar.
Kesilapan yang perlu diawasi
Godaan untuk “bezakan setiap bahagian lalu darab” sangat kuat, kerana ia nampak kemas.
Penyelesaian yang salah: dy/dx = u′ × v′ = 2 × (2x − 3) = 4x − 6
Pelajar mendarab dua terbitan.
Bandingkan dengan jawapan di atas: 4x − 6 tiada sebutan x², tetapi ungkapan asal menjadi kubik apabila dikembangkan, jadi terbitannya mesti mengandungi x². Semakan darjah yang pantas ini mengesan kesilapan itu. Struktur yang betul ialah u′v + uv′, dua sebutan yang ditambah.
Semak sendiri
1. Bezakan y = (x − 2)(x² + 5), kemudian semak dengan mengembang.
Tunjukkan jawapan
u = x − 2, v = x² + 5, jadi u′ = 1 dan v′ = 2x.
dy/dx = (x² + 5) + 2x(x − 2) = x² + 5 + 2x² − 4x = 3x² − 4x + 5.
Semakan: mengembang memberikan y = x³ − 2x² + 5x − 10, jadi dy/dx = 3x² − 4x + 5. ✓
2. Bezakan y = (3x + 1)√x dan permudahkan kepada satu pecahan.
Tunjukkan jawapan
u = 3x + 1, v = x1/2, jadi u′ = 3 dan v′ = ½x−1/2.
dy/dx = 3x1/2 + (3x + 1) × 1/(2√x) = 3√x + (3x + 1)/(2√x).
Letakkan di atas 2√x: (6x + 3x + 1)/(2√x) = (9x + 1)/(2√x).
Semakan: y = 3x3/2 + x1/2 memberikan (9/2)x1/2 + (1/2)x−1/2, yang sama. ✓
3. Cari kecerunan bagi y = (x + 1)(x² − 4) pada x = 2.
Tunjukkan jawapan
u = x + 1, v = x² − 4, u′ = 1, v′ = 2x.
dy/dx = (x² − 4) + (x + 1)(2x). Pada x = 2: 0 + 3 × 4 = 12.
Semakan: y = x³ + x² − 4x − 4, jadi dy/dx = 3x² + 2x − 4 = 12 + 4 − 4 = 12. ✓
Ke mana selepas ini?
Langkah seterusnya ialah petua rantai untuk ungkapan gubahan, yang membolehkan anda menangani faktor seperti (2x − 1)³. Penjelajah bentuk dan kadar kalkulus dan pelatih kerja tanpa kalkulator berguna untuk latihan.
Jika anda sukar memutuskan sama ada mahu mengembang atau menggunakan petua, guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh melatih anda membuat keputusan itu dengan soalan sebenar.