Siri geometri mempunyai hasil tambah hingga ketakterhinggaan (sum to infinity) hanya apabila |r| < 1, dan hasil tambahnya ialah S∞ = a/(1 − r). Susunan langkah itu penting: semak syarat dahulu, kemudian gunakan formula.
Pelajaran ini menyusul mencari nisbah sepunya dan termasuk dalam siri aritmetik dan geometri.
Mengapa nisbah menentukan segalanya?
Setiap sebutan ialah r kali sebutan sebelumnya. Jika r terletak antara −1 dan 1, setiap sebutan lebih kecil daripada yang terdahulu, jadi tambahannya menjadi amat kecil dan jumlah berjalan menetap.
Jika r ialah 1, setiap sebutan sama dan jumlahnya bertambah tanpa had. Jika |r| lebih besar daripada 1, sebutan itu sendiri membesar. Dalam kedua-dua kes, tiada hasil tambah terhingga hingga ketakterhinggaan.
Hasil tambah terhingga janjang geometri ialah Sn = a(1 − rn)/(1 − r), juga ditulis a(rn − 1)/(r − 1). Apabila |r| < 1, rn menghampiri sifar, dan Sn menghampiri a/(1 − r).
Bagaimana menggunakannya, langkah demi langkah?
- Cari r dengan membahagikan sebutan dengan sebutan sebelumnya.
- Uji syarat: adakah |r| < 1? Jika tidak, tulis bahawa hasil tambah tak terhingga tidak wujud.
- Gantikan ke dalam a/(1 − r), berhati-hati dengan kurungan apabila r negatif atau pecahan.
- Semak kewajaran: jawapan patut hampir dengan jumlah beberapa sebutan pertama.
Contoh berlangkah
Cari hasil tambah hingga ketakterhinggaan bagi 18 + 12 + 8 + …
Langkah 1, nisbah: r = 12 ÷ 18 = 2/3. Semak pasangan seterusnya: 8 ÷ 12 = 2/3.
Langkah 2, syarat: |2/3| < 1, jadi hasil tambah tak terhingga wujud.
Langkah 3, formula: S∞ = 18 ÷ (1 − 2/3) = 18 ÷ (1/3) = 18 × 3 = 54.
Langkah 4, semak kewajaran: lima sebutan pertama ialah 18, 12, 8, 5.33, 3.56 dan jumlahnya lebih kurang 46.9. Sebutan selebihnya mengecil, jadi had 54 munasabah.
Satu lagi kes, dengan nisbah negatif: bagi 8 − 4 + 2 − 1 + …, r = −1/2 dan S∞ = 8 ÷ (1 + 1/2) = 8 ÷ 3/2 = 16/3. Perhatikan kurungan: 1 − (−1/2) = 3/2, bukan 1/2.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapannya ialah menggunakan formula tanpa menguji r.
Kerja yang salah: bagi 2 + 6 + 18 + …, r = 3, maka S∞ = 2 ÷ (1 − 3) = 2 ÷ (−2) = −1.
Siri yang sebutannya positif tidak mungkin berjumlah nombor negatif. Formula memberi jawapan mengarut kerana syarat tidak disemak.
Pembetulannya ialah berhenti pada langkah 2. Di sini |r| = 3, yang lebih besar daripada 1, jadi siri ini tidak mempunyai hasil tambah tak terhingga. Apabila hasil tambah tak terhingga kelihatan ganjil, seperti negatif bagi siri positif, perkara pertama yang disemak ialah |r|.
Semak diri anda
Cuba di atas kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari hasil tambah hingga ketakterhinggaan bagi 40 + 10 + 2.5 + …
Lihat jawapan
r = 10 ÷ 40 = 1/4, dan |1/4| < 1. S∞ = 40 ÷ (1 − 1/4) = 40 ÷ 3/4 = 160/3, iaitu 53 1/3 (kira-kira 53.3).
Semakan: empat sebutan pertama berjumlah 40 + 10 + 2.5 + 0.625 = 53.125, sudah hampir.
2. Sebuah siri geometri mempunyai sebutan pertama 12 dan hasil tambah hingga ketakterhinggaan 16. Cari r.
Lihat jawapan
12 ÷ (1 − r) = 16, maka 1 − r = 12/16 = 3/4. Jadi r = 1/4, yang memenuhi |r| < 1.
Semakan: 12 ÷ (3/4) = 16.
3. Sebuah siri geometri mempunyai sebutan pertama 7 dan nisbah sepunya 2x − 1. Cari julat x supaya siri itu mempunyai hasil tambah hingga ketakterhinggaan.
Lihat jawapan
Kita perlukan |2x − 1| < 1, maka −1 < 2x − 1 < 1. Menambah 1 pada setiap bahagian memberi 0 < 2x < 2, jadi 0 < x < 1.
Semakan: x = 0.5 memberi r = 0, dan x = 1 memberi r = 1 yang tidak dibenarkan, maka sempadan dikecualikan.
Langkah seterusnya
Apabila menyemak syarat sudah menjadi tabiat, cuba menggabungkan sebutan dan jumlah terhingga dalam masalah gabungan sebutan dan hasil tambah. Makmal jujukan dan siri memberi isyarat apabila |r| terlalu besar untuk hasil tambah tak terhingga, jadi ia berguna untuk menyemak contoh anda sendiri.
Jika soalan ketiga membuat anda teragak-agak pada ketaksamaan |2x − 1| < 1, guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu boleh membimbing anda langkah demi langkah.